Чтобы построить график функции y = x^2 / e^x и провести его исследование, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

Функция y = x^2 / e^x определена для всех значений x, так как e^x никогда не равен нулю. Таким образом, область определения функции:

• x ∈ R (все действительные числа).

Важно исследовать поведение функции на границах области определения:

• При x → -∞: e^x → 0, а x^2 → ∞, следовательно, y → ∞.
• При x → +∞: e^x растет быстрее, чем x^2, поэтому y → 0.

Для изучения свойств функции, таких как экстремумы и точки перегиба, найдем производную:

1. Используем правило деления: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2, где u = x^2 и v = e^x.
2. Находим производные: u' = 2x, v' = e^x.
3. Подставляем в формулу: y' = (2x * e^x - x^2 * e^x) / (e^x)^2 = (2x - x^2) / e^x.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

• 2x - x^2 = 0.
• x(2 - x) = 0.
• Следовательно, критические точки: x = 0 и x = 2.

Теперь определим, где функция возрастает, а где убывает:

• На интервале (-∞, 0): y' > 0 (функция возрастает).
• На интервале (0, 2): y' < 0 (функция убывает).
• На интервале (2, +∞): y' < 0 (функция убывает).

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(0) = 0^2 / e^0 = 0.
• y(2) = 2^2 / e^2 = 4/e^2.

Теперь, когда мы исследовали функцию, можем построить график:

• Отметим критические точки: (0, 0) и (2, 4/e^2).
• Обозначим, что функция возрастает на интервале (-∞, 0) и убывает на интервалах (0, 2) и (2, +∞).
• Также отметим поведение функции на границах: y → ∞ при x → -∞ и y → 0 при x → +∞.

Теперь вы можете построить график функции, используя полученные данные. Не забудьте обозначить оси координат и важные точки на графике!