Как решить биквадратные уравнения с помощью дискриминанта?

1. x⁴ - 14x² + 45 = 0
2. 2x⁴ - 19x² + 9 = 0

Алгебра 9 класс Биквадратные уравнения биквадратные уравнения дискриминант решение уравнений алгебра 9 класс методы решения биквадратных уравнений Новый

Биквадратные уравнения имеют вид x^4 + bx^2 + c = 0. Чтобы решить такие уравнения с помощью дискриминанта, мы сначала сделаем замену переменной. Обозначим y = x². Тогда наше уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно y:

y² + by + c = 0

Теперь мы решим каждое из заданных уравнений по шагам.

1. Уравнение x⁴ - 14x² + 45 = 0

1. Заменим x² на y: y² - 14y + 45 = 0.
2. Найдем дискриминант D: D = b² - 4ac, где a = 1, b = -14, c = 45.
3. Подставим значения: D = (-14)² - 4 * 1 * 45 = 196 - 180 = 16.
4. Так как D > 0, у уравнения два различных корня:
5. Находим корни по формуле: y = (-b ± √D) / (2a).
6. Подставим значения: y = (14 ± √16) / 2 = (14 ± 4) / 2.
7. Получаем два корня: y₁ = (18) / 2 = 9 и y₂ = (10) / 2 = 5.
8. Теперь возвращаемся к переменной x: x² = 9 и x² = 5.
9. Из первого уравнения: x = ±3.
10. Из второго уравнения: x = ±√5.

Ответ: x = 3, -3, √5, -√5.

2. Уравнение 2x⁴ - 19x² + 9 = 0

1. Заменим x² на y: 2y² - 19y + 9 = 0.
2. Найдем дискриминант D: D = b² - 4ac, где a = 2, b = -19, c = 9.
3. Подставим значения: D = (-19)² - 4 * 2 * 9 = 361 - 72 = 289.
4. Так как D > 0, у уравнения два различных корня:
5. Находим корни по формуле: y = (-b ± √D) / (2a).
6. Подставим значения: y = (19 ± √289) / (2 * 2) = (19 ± 17) / 4.
7. Получаем два корня: y₁ = (36) / 4 = 9 и y₂ = (2) / 4 = 0.5.
8. Теперь возвращаемся к переменной x: x² = 9 и x² = 0.5.
9. Из первого уравнения: x = ±3.
10. Из второго уравнения: x = ±√0.5 = ±√(1/2) = ±√2/2.

Ответ: x = 3, -3, √2/2, -√2/2.