Биквадратные уравнения имеют вид:

x⁴ + bx² + c = 0

Чтобы решить такие уравнения, мы можем сделать замену переменной. Обозначим:

y = x²

Тогда уравнение преобразуется в:

y² + by + c = 0

Теперь давайте рассмотрим оба уравнения по очереди.

1. Уравнение: x⁴ - 14x² + 45 = 0

• Сделаем замену: y = x².
• Подставим в уравнение: y² - 14y + 45 = 0.
• Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac

• Здесь a = 1, b = -14, c = 45.
• Подставим значения: D = (-14)² - 4 * 1 * 45 = 196 - 180 = 16.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

• y₁ = (14 + √16) / 2 = (14 + 4) / 2 = 18 / 2 = 9.
• y₂ = (14 - √16) / 2 = (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5.

Теперь вернемся к переменной x:

• y₁ = 9, значит x² = 9, x = ±3.
• y₂ = 5, значит x² = 5, x = ±√5.

Таким образом, корни первого уравнения:

x = 3, -3, √5, -√5.

2. Уравнение: 2x⁴ - 19x² + 9 = 0

• Сделаем замену: y = x².
• Подставим в уравнение: 2y² - 19y + 9 = 0.
• Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = b² - 4ac

• Здесь a = 2, b = -19, c = 9.
• Подставим значения: D = (-19)² - 4 * 2 * 9 = 361 - 72 = 289.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

• y₁ = (19 + √289) / (2 * 2) = (19 + 17) / 4 = 36 / 4 = 9.
• y₂ = (19 - √289) / (2 * 2) = (19 - 17) / 4 = 2 / 4 = 0.5.

Теперь вернемся к переменной x:

• y₁ = 9, значит x² = 9, x = ±3.
• y₂ = 0.5, значит x² = 0.5, x = ±√0.5 = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2.

Таким образом, корни второго уравнения:

x = 3, -3, √2/2, -√2/2.

В итоге, мы нашли корни обоих биквадратных уравнений:

• Для первого уравнения: x = 3, -3, √5, -√5.
• Для второго уравнения: x = 3, -3, √2/2, -√2/2.