Как решить методом интервалов неравенство:

9x² - 4 / (x - 2x²) ≤ 0

Алгебра 9 класс Неравенства решение неравенства метод интервалов алгебра 9 класс 9x² - 4 (x - 2x²) ≤ 0 неравенства алгебра алгебраические неравенства Новый

Чтобы решить неравенство 9x² - 4 / (x - 2x²) ≤ 0 методом интервалов, следуем следующим шагам:

1. Приведем неравенство к более удобному виду. Начнем с того, что можем переписать неравенство в виде:

(9x² - 4) / (x - 2x²) ≤ 0

2. Найдем нули числителя и знаменателя.
• Числитель: 9x² - 4 = 0. Решим это уравнение:
• 9x² = 4
• x² = 4/9
• x = ±2/3
• Знаменатель: x - 2x² = 0. Решим это уравнение:
• x(1 - 2x) = 0
• x = 0 или 1 - 2x = 0
• 1 = 2x => x = 1/2
3. Запишем найденные значения: Нули числителя: x = -2/3 и x = 2/3; Нули знаменателя: x = 0 и x = 1/2.
4. Построим числовую прямую и отметим найденные точки:

На числовой прямой у нас будут точки: -2/3, 0, 1/2 и 2/3. Эти точки разделят прямую на интервалы:

• (-∞, -2/3)
• (-2/3, 0)
• (0, 1/2)
• (1/2, 2/3)
• (2/3, +∞)
5. Определим знак выражения на каждом интервале:
• Для интервала (-∞, -2/3): выберем x = -1. Подставляем: (9*(-1)² - 4) / (-1 - 2*(-1)²) = (9 - 4) / (-1 - 2) = 5 / -3 < 0.
• Для интервала (-2/3, 0): выберем x = -1/4. Подставляем: (9*(-1/4)² - 4) / (-1/4 - 2*(-1/4)²) = (9/16 - 4) / (-1/4 - 2/16) = (9/16 - 64/16) / (-1/4 - 1/8) = (-55/16) / (-3/8) > 0.
• Для интервала (0, 1/2): выберем x = 1/4. Подставляем: (9*(1/4)² - 4) / (1/4 - 2*(1/4)²) = (9/16 - 4) / (1/4 - 2/16) = (-55/16) / (1/4 - 1/8) < 0.
• Для интервала (1/2, 2/3): выберем x = 0.6. Подставляем: (9*(0.6)² - 4) / (0.6 - 2*(0.6)²) = (9*0.36 - 4) / (0.6 - 0.72) = (3.24 - 4) / (0.6 - 0.72) = (-0.76) / (-0.12) > 0.
• Для интервала (2/3, +∞): выберем x = 1. Подставляем: (9*(1)² - 4) / (1 - 2*(1)²) = (9 - 4) / (1 - 2) = 5 / -1 < 0.
6. Соберем результаты: Мы получили знаки на интервалах:
• (-∞, -2/3): −
• (-2/3, 0): +
• (0, 1/2): −
• (1/2, 2/3): +
• (2/3, +∞): −
7. Определим, где выражение меньше или равно нулю: Это происходит на интервалах (-∞, -2/3), (0, 1/2) и (2/3, +∞). Также учитываем, что в точках, где числитель равен нулю, значение выражения равно нулю.
8. Запишем окончательный ответ: x ∈ (-∞, -2/3] ∪ [0, 1/2) ∪ (2/3, +∞).

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов, где выражение меньше или равно нулю.