Давайте разберем каждое из неравенств по порядку. Начнем с первого неравенства:

Сначала перепишем неравенство в стандартной форме:

-2x² - 7x + 9 < 0

Теперь умножим все части неравенства на -1, не забывая поменять знак неравенства:

2x² + 7x - 9 > 0

Далее, найдем корни квадратного уравнения 2x² + 7x - 9 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 7² - 4 * 2 * (-9) = 49 + 72 = 121.
• Корни уравнения: x₁ = (-b + √D) / 2a и x₂ = (-b - √D) / 2a

Подставим значения:

• x₁ = (-7 + 11) / 4 = 1
• x₂ = (-7 - 11) / 4 = -4.5

Теперь у нас есть корни x₁ = 1 и x₂ = -4.5. Мы можем построить числовую прямую и определить знаки выражения 2x² + 7x - 9 на интервалах:

• (-∞, -4.5)
• (-4.5, 1)
• (1, +∞)

Проверим знаки на каждом из интервалов:

• Для x < -4.5, например, x = -5: 2(-5)² + 7(-5) - 9 > 0.
• Для -4.5 < x < 1, например, x = 0: 2(0)² + 7(0) - 9 < 0.
• Для x > 1, например, x = 2: 2(2)² + 7(2) - 9 > 0.

Таким образом, решение неравенства 9 - 7x - 2x² < 0 будет:

x ∈ (-4.5, 1).

Аналогично, перепишем неравенство:

-3x² - 5x + 32 < 0

Умножим на -1:

3x² + 5x - 32 > 0.

Находим дискриминант:

• D = 5² - 4 * 3 * (-32) = 25 + 384 = 409.

Корни уравнения 3x² + 5x - 32 = 0:

• x₁ = (-5 + √409) / 6,
• x₂ = (-5 - √409) / 6.

Теперь определим знаки на интервалах, которые образуют корни:

• Для x < x₂: положительное значение.
• Для x₂ < x < x₁: отрицательное значение.
• Для x > x₁: положительное значение.

Таким образом, решение неравенства 32 - 5x - 3x² < 0 будет:

x ∈ (x₂, x₁).

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) 3x² + 5x ≥ 0:

Факторизуем: x(3x + 5) ≥ 0.

Корни: x = 0 и x = -5/3. Определяем знаки на интервалах:

• (-∞, -5/3): положительное значение.
• (-5/3, 0): отрицательное значение.
• (0, +∞): положительное значение.

Решение: x ∈ (-∞, -5/3] ∪ [0, +∞).

2) 3x² - 5x > -8:

Переносим все в одну сторону: 3x² - 5x + 8 > 0.

Находим дискриминант:

• D = (-5)² - 4 * 3 * 8 = 25 - 96 = -71.

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней, и функция 3x² - 5x + 8 всегда положительна.

Таким образом, решение системы неравенств:

x ∈ (-∞, -5/3] ∪ [0, +∞).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать неравенства и системы неравенств!