Как решить неравенства: 4x² - 12x + 9 > 0 и x² + 4x + 11 ≤ 0?

Алгебра 9 класс Неравенства и их решения решение неравенств алгебра 9 класс 4x² - 12x + 9 > 0 x² + 4x + 11 ≤ 0 методы решения неравенств графики неравенств анализ неравенств Новый

Для решения неравенств 4x² - 12x + 9 > 0 и x² + 4x + 11 ≤ 0, мы будем использовать метод анализа знаков и свойства квадратных функций. Давайте начнем с первого неравенства.

1. Решение неравенства 4x² - 12x + 9 > 0:

Сначала упростим неравенство:

• Запишем его в стандартной форме: 4x² - 12x + 9 > 0.

Теперь найдем корни соответствующего уравнения 4x² - 12x + 9 = 0. Для этого используем дискриминант:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 4, b = -12, c = 9.
• D = (-12)² - 4 * 4 * 9 = 144 - 144 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень:

• x = -b / (2a) = 12 / (2 * 4) = 12 / 8 = 1.5.

Теперь мы знаем, что парабола, соответствующая функции 4x² - 12x + 9, имеет вершину в точке x = 1.5 и открыта вверх (так как коэффициент при x² положительный). Это значит, что функция принимает значение 0 в точке x = 1.5 и положительна во всех остальных точках.

Следовательно, решение неравенства:

• x < 1.5 или x > 1.5.

2. Решение неравенства x² + 4x + 11 ≤ 0:

Теперь рассмотрим второе неравенство:

• Запишем его в стандартной форме: x² + 4x + 11 ≤ 0.

Сначала найдем дискриминант для уравнения x² + 4x + 11 = 0:

• D = b² - 4ac, где a = 1, b = 4, c = 11.
• D = 4² - 4 * 1 * 11 = 16 - 44 = -28.

Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней. Это значит, что парабола, соответствующая функции x² + 4x + 11, не пересекает ось x и открыта вверх (коэффициент при x² положительный). Следовательно, функция всегда положительна:

• x² + 4x + 11 > 0 для всех x.

Таким образом, неравенство x² + 4x + 11 ≤ 0 не имеет решений.

Итак, подводя итоги:

• Для неравенства 4x² - 12x + 9 > 0: x < 1.5 или x > 1.5.
• Для неравенства x² + 4x + 11 ≤ 0: нет решений.