Давайте разберем оба неравенства по отдельности и найдем их решения. Затем мы объединим результаты.

• Начнем с того, что мы можем решить это неравенство, добавив 4 к обеим сторонам:
• x - 4 > 0
• x > 4

Таким образом, решение первого неравенства: x > 4.

• Сначала найдем корни квадратного уравнения x^2 - 2x - 15 = 0. Для этого используем формулу корней:
• Корни находятся по формуле x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -15.
• В нашем случае:
• b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64.
• Корни будут:
• x = (2 ± √64) / 2 = (2 ± 8) / 2.
• Таким образом, получаем два корня:
• x1 = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5,
• x2 = (2 - 8) / 2 = -6 / 2 = -3.
• Теперь мы знаем, что квадратное уравнение имеет корни x = 5 и x = -3.
• Теперь определим знаки выражения x^2 - 2x - 15 на интервалах, образованных этими корнями: (-∞, -3), (-3, 5), (5, +∞).
• Проверим знак на каждом интервале:
• Для интервала (-∞, -3), возьмем, например, x = -4: (-4)^2 - 2*(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 (положительное).
• Для интервала (-3, 5), возьмем x = 0: 0^2 - 2*0 - 15 = -15 (отрицательное).
• Для интервала (5, +∞), возьмем x = 6: 6^2 - 2*6 - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 (положительное).
• Таким образом, выражение x^2 - 2x - 15 < 0 на интервале (-3, 5).

Итак, решение второго неравенства: -3 < x < 5.

Теперь нам нужно объединить два найденных решения:

• Первое неравенство: x > 4.
• Второе неравенство: -3 < x < 5.

Объединим эти условия:

• Мы видим, что x должно быть больше 4 и одновременно меньше 5.

Следовательно, общее решение системы неравенств: