Для решения неравенства 25x^2 - 10x + 1 > 0, следуем следующим шагам:

1. Определим, что это квадратное неравенство. Мы видим, что оно имеет вид ax^2 + bx + c, где a = 25, b = -10, c = 1.
2. Найдём дискриминант. Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac:
• D = (-10)^2 - 4 * 25 * 1 = 100 - 100 = 0.
3. Проанализируем дискриминант. Поскольку D = 0, это означает, что у нашего квадратного уравнения есть один корень (дважды). Мы можем найти корень с помощью формулы:
• x = -b / (2a) = -(-10) / (2 * 25) = 10 / 50 = 0.2.
4. Запишем корень. У нас есть один корень x = 0.2.
5. Построим числовую прямую. Мы знаем, что парабола, заданная квадратным уравнением, открыта вверх (так как a > 0) и имеет только одну точку касания с осью x в точке x = 0.2.
6. Определим знак выражения. Поскольку парабола касается оси x в точке 0.2 и открыта вверх, то:
• Для x < 0.2: 25x^2 - 10x + 1 > 0 (выражение положительное).
• Для x = 0.2: 25x^2 - 10x + 1 = 0 (выражение равно нулю).
• Для x > 0.2: 25x^2 - 10x + 1 > 0 (выражение также положительное).
7. Запишем решение неравенства. Мы ищем, когда выражение больше нуля:
• x < 0.2 или x > 0.2.

Таким образом, решение неравенства 25x^2 - 10x + 1 > 0 можно записать в виде:

x ∈ (-∞, 0.2) ∪ (0.2, +∞)