Чтобы решить неравенство (2x−1)(x+3)≥4, следуем пошагово:

1. Переносим 4 на левую сторону:

Мы можем переписать неравенство следующим образом:

(2x−1)(x+3) - 4 ≥ 0

2. Приводим левую часть к общему виду:

Теперь раскроим скобки:

(2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3

Теперь у нас есть:

2x^2 + 5x - 3 - 4 ≥ 0

Это упрощается до:

2x^2 + 5x - 7 ≥ 0

3. Находим корни квадратного уравнения:

Для этого используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-7) = 25 + 56 = 81

Корни уравнения находим по формуле:

x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

x1 = (-5 + 9) / 4 = 1

x2 = (-5 - 9) / 4 = -3.5

4. Решаем неравенство:

Теперь у нас есть корни x1 = 1 и x2 = -3.5. Эти корни разбивают числовую ось на три интервала:

• (-∞, -3.5)
• (-3.5, 1)
• (1, +∞)
5. Проверяем знаки на каждом интервале:

Выберем тестовые точки для каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -3.5), например, x = -4:

2(-4)^2 + 5(-4) - 7 = 32 - 20 - 7 = 5 (положительно)

• Для интервала (-3.5, 1), например, x = 0:

2(0)^2 + 5(0) - 7 = -7 (отрицательно)

• Для интервала (1, +∞), например, x = 2:

2(2)^2 + 5(2) - 7 = 8 + 10 - 7 = 11 (положительно)

6. Записываем окончательное решение:

Неравенство выполняется на интервалах:

x ∈ (-∞, -3.5] ∪ [1, +∞)

Таким образом, решение неравенства (2x−1)(x+3)≥4: x ∈ (-∞, -3.5] ∪ [1, +∞).