Как решить неравенство 2x² - 11x + 23 > (x - 5)²?

Алгебра 9 класс Неравенства решение неравенства алгебра 9 класс 2x² - 11x + 23 (x - 5)² неравенства с квадратами методы решения неравенств алгебраические неравенства Новый

Чтобы решить неравенство 2x² - 11x + 23 > (x - 5)², начнем с упрощения правой части неравенства.

Шаг 1: Раскроем скобки на правой стороне:

• (x - 5)² = x² - 10x + 25

Теперь подставим это выражение обратно в неравенство:

2x² - 11x + 23 > x² - 10x + 25

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону неравенства, чтобы получить ноль с правой стороны:

• 2x² - 11x + 23 - x² + 10x - 25 > 0

Шаг 3: Упрощаем выражение:

• (2x² - x²) + (-11x + 10x) + (23 - 25) > 0
• x² - x - 2 > 0

Теперь мы имеем неравенство x² - x - 2 > 0.

Шаг 4: Найдем корни соответствующего уравнения x² - x - 2 = 0. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставляем значения:

• b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
• Теперь находим корни:
• x = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2.
• Таким образом, корни: x = 2 и x = -1.

Шаг 5: Теперь мы можем записать неравенство в виде:

(x - 2)(x + 1) > 0.

Шаг 6: Определим знаки произведения на интервалах, которые определяются корнями -1 и 2:

• Интервал 1: (-∞, -1)
• Интервал 2: (-1, 2)
• Интервал 3: (2, +∞)

Теперь проверим знак произведения (x - 2)(x + 1) на каждом из интервалов:

• Для x < -1, например, x = -2: (-2 - 2)(-2 + 1) = (-4)(-1) > 0.
• Для -1 < x < 2, например, x = 0: (0 - 2)(0 + 1) = (-2)(1) < 0.
• Для x > 2, например, x = 3: (3 - 2)(3 + 1) = (1)(4) > 0.

Шаг 7: Теперь мы можем записать решение неравенства:

Неравенство выполняется на интервалах:

• x < -1
• x > 2

Таким образом, окончательное решение неравенства 2x² - 11x + 23 > (x - 5)²:

x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, +∞).