Чтобы решить неравенство 5x² - 4x - 1 ≥ 0, следуем следующим шагам:

Сначала мы решим соответствующее квадратное уравнение 5x² - 4x - 1 = 0. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a),

где a = 5, b = -4, c = -1.

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 5 * (-1) = 16 + 20 = 36.
• Корни уравнения: x₁ = (4 + √36) / (2 * 5) = (4 + 6) / 10 = 10 / 10 = 1.
• x₂ = (4 - √36) / (2 * 5) = (4 - 6) / 10 = -2 / 10 = -0.2.

Корни уравнения x₁ = 1 и x₂ = -0.2 делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -0.2)
• (-0.2, 1)
• (1, +∞)

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -0.2) возьмем x = -1:
• 5(-1)² - 4(-1) - 1 = 5 + 4 - 1 = 8 (положительное).
• Для интервала (-0.2, 1) возьмем x = 0:
• 5(0)² - 4(0) - 1 = -1 (отрицательное).
• Для интервала (1, +∞) возьмем x = 2:
• 5(2)² - 4(2) - 1 = 20 - 8 - 1 = 11 (положительное).

Таким образом, функция 5x² - 4x - 1 принимает положительные значения на интервалах:

• (-∞, -0.2]
• [1, +∞)

Теперь нам нужно найти наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целые решения:

• Наибольшее отрицательное целое решение: x = -1.
• Наименьшее положительное целое решение: x = 1.

Таким образом, наибольшее отрицательное целое решение -1, а наименьшее положительное целое решение 1.