Для решения неравенства x^2 + 17x - 18 ≥ 0 нам нужно определить, при каких значениях x квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения. Давайте разберем это шаг за шагом:

1. Найдем корни квадратного уравнения:

   Сначала решим уравнение x^2 + 17x - 18 = 0. Для этого используем формулу нахождения корней квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

   где a = 1, b = 17, c = -18.

   Сначала найдем дискриминант D:

   D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4*1*(-18) = 289 + 72 = 361

   Теперь найдем корни:

   • x₁ = (-17 + √361) / 2 = (-17 + 19) / 2 = 1
   • x₂ = (-17 - √361) / 2 = (-17 - 19) / 2 = -18
2. Определим интервалы:

   Корни уравнения разбивают числовую прямую на три интервала:

   • (-∞, -18)
   • [-18, 1]
   • (1, +∞)
3. Исследуем знаки на интервалах:

   Так как старший коэффициент квадратного трехчлена (при x^2) положительный, то:

   • На интервале (-∞, -18) трехчлен принимает положительные значения.
   • На интервале [-18, 1] трехчлен может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но на концах интервала (в точках -18 и 1) он равен нулю.
   • На интервале (1, +∞) трехчлен снова принимает положительные значения.
4. Запишем решение неравенства:

   Таким образом, неравенство x^2 + 17x - 18 ≥ 0 выполняется на следующих интервалах:

   • x ∈ (-∞, -18] ∪ [1, +∞)

Итак, решение неравенства: x ∈ (-∞, -18] ∪ [1, +∞).