Как решить неравенство методом интервалов: x - 1 / x + 5 > 2?

Алгебра 9 класс Неравенства решение неравенства метод интервалов алгебра 9 класс неравенства с дробями математические методы Новый

Чтобы решить неравенство (x - 1) / (x + 5) > 2 методом интервалов, следуем следующим шагам:

1. Переносим все члены в одну сторону неравенства:

Для этого вычтем 2 из обеих сторон:

(x - 1) / (x + 5) - 2 > 0

2. Приводим к общему знаменателю:

Общий знаменатель будет (x + 5). Приводим:

(x - 1) / (x + 5) - 2 * (x + 5) / (x + 5) > 0

Это равносильно:

(x - 1 - 2(x + 5)) / (x + 5) > 0

3. Упрощаем числитель:

Раскроем скобки:

(x - 1 - 2x - 10) / (x + 5) > 0

Соберем подобные:

(-x - 11) / (x + 5) > 0

4. Изменим знак числителя:

Умножим обе стороны на -1 (неравенство изменит знак):

(x + 11) / (x + 5) < 0

5. Находим нули числителя и знаменателя:
• Числитель равен нулю при x + 11 = 0, то есть x = -11.
• Знаменатель равен нулю при x + 5 = 0, то есть x = -5.
6. Строим числовую прямую и определяем интервалы:

Получаем три критических точки: -11 и -5. Разделим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -11)
• (-11, -5)
• (-5, +∞)
7. Проверяем знак функции на каждом интервале:
• Для интервала (-∞, -11): выберем x = -12.

(-12 + 11) / (-12 + 5) = (-1) / (-7) > 0 (положительный).

• Для интервала (-11, -5): выберем x = -10.

(-10 + 11) / (-10 + 5) = (1) / (-5) < 0 (отрицательный).

• Для интервала (-5, +∞): выберем x = 0.

(0 + 11) / (0 + 5) = (11) / (5) > 0 (положительный).

8. Записываем ответ:

Неравенство (x + 11) / (x + 5) < 0 выполняется на интервале (-11, -5).

Таким образом, решение неравенства:

x ∈ (-11, -5)