Чтобы решить неравенство x в четвёртой степени минус 13x в квадрате плюс 36 меньше или равно нулю, сначала запишем его в более удобной форме:

x^4 - 13x^2 + 36 ≤ 0

Теперь давайте сделаем замену переменной, чтобы упростить неравенство. Обозначим:

y = x^2

Тогда наше неравенство преобразуется в:

y^2 - 13y + 36 ≤ 0

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Чтобы решить его, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

y^2 - 13y + 36 = 0

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -13, c = 36. Подставляем значения:

• D = (-13)^2 - 4 * 1 * 36
• D = 169 - 144
• D = 25

Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения:

y1,2 = ( -b ± √D ) / (2a)

• y1 = (13 + √25) / 2 = (13 + 5) / 2 = 18 / 2 = 9
• y2 = (13 - √25) / 2 = (13 - 5) / 2 = 8 / 2 = 4

Теперь у нас есть корни y1 = 9 и y2 = 4. Следующий шаг - это определить, на каких интервалах функция y^2 - 13y + 36 принимает значения, меньше или равные нулю.

Корни делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, 4)
• (4, 9)
• (9, +∞)

Теперь выберем тестовые значения из каждого интервала и подставим их в неравенство:

• Для интервала (-∞, 4), например, y = 0: 0^2 - 13*0 + 36 = 36 > 0
• Для интервала (4, 9), например, y = 5: 5^2 - 13*5 + 36 = 25 - 65 + 36 = -4 < 0
• Для интервала (9, +∞), например, y = 10: 10^2 - 13*10 + 36 = 100 - 130 + 36 = 6 > 0

Таким образом, функция y^2 - 13y + 36 принимает значения, меньше или равные нулю на интервале (4, 9) и в точках y = 4 и y = 9.

Теперь вернемся к нашей замене y = x^2:

Нам нужно решить следующие неравенства:

• x^2 ≤ 4
• x^2 ≤ 9

Решим их по отдельности:

1. Для x^2 ≤ 4:

• √(x^2) ≤ √4
• −2 ≤ x ≤ 2

2. Для x^2 ≤ 9:

• −3 ≤ x ≤ 3

Теперь объединим полученные результаты:

С учетом того, что x^2 ≤ 4 накладывает более строгие ограничения, окончательное решение будет:

−2 ≤ x ≤ 2

Таким образом, решение неравенства x^4 - 13x^2 + 36 ≤ 0: x ∈ [-2, 2].