Для решения неравенства x² - 10x + 16 ≥ 0, давайте сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения x² - 10x + 16 = 0. Это поможет нам определить, на каких интервалах функция принимает положительные значения.

1. Найдем дискриминант: Дискриминант D рассчитывается по формуле D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. В нашем случае a = 1, b = -10, c = 16.
2. Подставим значения:
   • D = (-10)² - 4 * 1 * 16 = 100 - 64 = 36.
3. Найдем корни уравнения: Корни можно найти по формуле x = (-b ± √D) / (2a).
4. Подставим значения:
   • x₁ = (10 + √36) / 2 = (10 + 6) / 2 = 16 / 2 = 8.
   • x₂ = (10 - √36) / 2 = (10 - 6) / 2 = 4 / 2 = 2.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 8 и x₂ = 2.

Теперь мы знаем, что функция x² - 10x + 16 = 0 при x = 2 и x = 8. Далее, мы определим знаки функции на интервалах, образованных этими корнями:

• Интервал (-∞, 2)
• Интервал (2, 8)
• Интервал (8, +∞)

Теперь проверим знак функции на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, 2): Возьмем, например, x = 0:
• 0² - 10 * 0 + 16 = 16 ≥ 0 (положительный).
2. Для интервала (2, 8): Возьмем, например, x = 5:
• 5² - 10 * 5 + 16 = 25 - 50 + 16 = -9 < 0 (отрицательный).
3. Для интервала (8, +∞): Возьмем, например, x = 10:
• 10² - 10 * 10 + 16 = 100 - 100 + 16 = 16 ≥ 0 (положительный).

Теперь мы можем подвести итоги:

• На интервале (-∞, 2) функция положительна.
• На интервале (2, 8) функция отрицательна.
• На интервале (8, +∞) функция положительна.

Неравенство x² - 10x + 16 ≥ 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, 2] (включая 2, так как в неравенстве стоит знак ≥)
• [8, +∞) (включая 8, так как в неравенстве стоит знак ≥)

Таким образом, окончательный ответ:

x ∈ (-∞, 2] ∪ [8, +∞).