Как решить неравенство (y-9)²(y²+9) > 0?

Алгебра 9 класс Неравенства решение неравенства алгебра 9 класс неравенства с квадратами неравенства алгебра y-9 y²+9 математические неравенства методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства (y-9)²(y²+9) > 0, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Найдем корни выражения.

Сначала определим, при каких значениях y выражение (y-9)²(y²+9) равно нулю. Это произойдет, если хотя бы один из множителей равен нулю.

• Первый множитель: (y-9)² = 0. Это уравнение имеет один корень: y = 9.
• Второй множитель: (y² + 9) = 0. Это уравнение не имеет действительных корней, так как y² + 9 всегда положительно для всех действительных y (y² ≥ 0, следовательно, y² + 9 ≥ 9 > 0).

Шаг 2: Определим знак выражения.

Теперь, когда мы знаем, что единственный корень — это y = 9, давайте исследуем знак выражения (y-9)²(y²+9) на интервалах, которые определяются этим корнем.

• Интервал 1: y < 9
• Интервал 2: y = 9
• Интервал 3: y > 9

Шаг 3: Проверим знаки на интервалах.

1. Для y < 9:
   • y-9 < 0, следовательно, (y-9)² > 0 (квадрат любого числа положителен).
   • y² + 9 > 0 (как уже было сказано, всегда положительно).
   • Таким образом, (y-9)²(y² + 9) > 0.
2. Для y = 9:
   • (y-9)² = 0, следовательно, (y-9)²(y² + 9) = 0.
3. Для y > 9:
   • y-9 > 0, следовательно, (y-9)² > 0.
   • y² + 9 > 0 (всегда положительно).
   • Таким образом, (y-9)²(y² + 9) > 0.

Шаг 4: Запишем ответ.

Мы видим, что неравенство (y-9)²(y² + 9) > 0 выполняется на интервалах:

y < 9 и y > 9.

Таким образом, окончательный ответ:

y ∈ (-∞, 9) ∪ (9, +∞).