Как решить уравнение: 2cos^2 x - 5cos(-3п/2 - x) + 1 = 0?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс cos^2 x уравнения с косинусом математические задачи тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения 2cos^2 x - 5cos(-3п/2 - x) + 1 = 0 начнем с упрощения выражения cos(-3п/2 - x).

Согласно свойству косинуса, cos(-α) = cos(α), поэтому мы можем записать:

• cos(-3п/2 - x) = cos(3п/2 + x)

Далее, используя формулу косинуса для суммы углов, получаем:

• cos(3п/2 + x) = cos(3п/2)cos(x) - sin(3п/2)sin(x)

Зная, что cos(3п/2) = 0 и sin(3п/2) = -1, подставляем эти значения:

• cos(3п/2 + x) = 0 * cos(x) - (-1) * sin(x) = sin(x)

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:

2cos^2 x - 5sin(x) + 1 = 0

Теперь мы можем выразить cos^2 x через sin(x), используя основное тригонометрическое тождество:

• cos^2 x = 1 - sin^2 x

Подставляем это в уравнение:

2(1 - sin^2 x) - 5sin(x) + 1 = 0

Раскроем скобки:

2 - 2sin^2 x - 5sin(x) + 1 = 0

Соберем все члены в одном уравнении:

-2sin^2 x - 5sin(x) + 3 = 0

Умножим всё уравнение на -1 для удобства:

2sin^2 x + 5sin(x) - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим y = sin(x), тогда уравнение примет вид:

2y^2 + 5y - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49

Теперь найдем корни уравнения:

• y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-5 + 7) / 4 = 2 / 4 = 0.5
• y2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-5 - 7) / 4 = -12 / 4 = -3

Теперь у нас есть два значения для y:

• y1 = 0.5
• y2 = -3
(это значение не подходит, так как sin(x) не может быть меньше -1 или больше 1)

Таким образом, оставляем только y1 = 0.5. Теперь найдем x:

• sin(x) = 0.5

Значения x для sin(x) = 0.5 находятся в следующих квадрантах:

• x = π/6 + 2kπ, где k – целое число (первый квадрант)
• x = 5π/6 + 2kπ, где k – целое число (второй квадрант)

Таким образом, общее решение уравнения:

x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k – целое число.