Чтобы решить уравнение 2x^4 - x^3 - 14x^2 + 19x - 6 = 0, мы можем воспользоваться методом подбора корней и делением многочленов. Давайте рассмотрим шаги более подробно:

Сначала мы попробуем найти рациональные корни уравнения, используя теорему о рациональных корнях. Она гласит, что все возможные рациональные корни имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители ведущего коэффициента.

• Свободный член: -6. Его делители: ±1, ±2, ±3, ±6.
• Ведущий коэффициент: 2. Его делители: ±1, ±2.

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2.

Теперь мы подставим эти значения в уравнение, чтобы проверить, является ли какое-либо из них корнем.

• Подставим x = 1:

2(1)^4 - (1)^3 - 14(1)^2 + 19(1) - 6 = 2 - 1 - 14 + 19 - 6 = 0. Это корень!

• Подставим x = 2:

2(2)^4 - (2)^3 - 14(2)^2 + 19(2) - 6 = 32 - 8 - 56 + 38 - 6 = 0. Это тоже корень!

Теперь, когда мы нашли два корня (x = 1 и x = 2), мы можем выполнить деление многочлена. Начнем с деления на (x - 1).

После деления у нас останется многочлен 2x^3 + x^2 - 13x + 6.

Теперь делим этот многочлен на (x - 2):

После деления мы получаем 2x^2 + 5x - 3.

Теперь у нас есть квадратное уравнение 2x^2 + 5x - 3 = 0. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49.

Так как D > 0, у нас два различных корня:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-5 + 7) / 4 = 1/2.
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-5 - 7) / 4 = -3.

Таким образом, все корни уравнения 2x^4 - x^3 - 14x^2 + 19x - 6 = 0:

• x1 = 1,
• x2 = 2,
• x3 = 1/2,
• x4 = -3.

Это и есть все решения данного уравнения.