Чтобы решить уравнение 3cos(2x) - 5sin(x) + 1 = 0, нам нужно воспользоваться тригонометрическими идентичностями и преобразовать уравнение.

Шаг 1: Используем идентичность для косинуса двойного угла. Мы знаем, что:

• cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставим это в уравнение:

3(2cos^2(x) - 1) - 5sin(x) + 1 = 0

Шаг 2: Раскроем скобки:

6cos^2(x) - 3 - 5sin(x) + 1 = 0

Шаг 3: Упростим уравнение:

6cos^2(x) - 5sin(x) - 2 = 0

Шаг 4: Заменим cos^2(x) с помощью основной тригонометрической идентичности:

• cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Подставим это в уравнение:

6(1 - sin^2(x)) - 5sin(x) - 2 = 0

Шаг 5: Раскроем скобки:

6 - 6sin^2(x) - 5sin(x) - 2 = 0

Шаг 6: Упростим уравнение:

-6sin^2(x) - 5sin(x) + 4 = 0

Шаг 7: Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

6sin^2(x) + 5sin(x) - 4 = 0

Шаг 8: Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:

Для уравнения ax^2 + bx + c = 0, корни находятся по формуле:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Здесь a = 6, b = 5, c = -4. Подставим значения:

• b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 6 * (-4) = 25 + 96 = 121

Теперь находим корни:

• sin(x) = (-5 + √121) / (2 * 6) = (-5 + 11) / 12 = 6 / 12 = 0.5
• sin(x) = (-5 - √121) / (2 * 6) = (-5 - 11) / 12 = -16 / 12 = -4/3 (не подходит, так как синус не может быть больше 1 или меньше -1)

Шаг 9: Теперь мы знаем, что sin(x) = 0.5. Найдем значения x:

• x = arcsin(0.5) = π/6 + 2kπ
• x = π - π/6 = 5π/6 + 2kπ

где k - любое целое число.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ

Это и есть все возможные решения данного уравнения в зависимости от значения k.