Для решения квадратного уравнения 3x² - 3x + 1 = 0 мы будем использовать дискриминант и теорему Виета. Давайте начнем с поиска дискриминанта.

Шаг 1: Определение коэффициентов

В нашем уравнении 3x² - 3x + 1 = 0 можно выделить следующие коэффициенты:

• a = 3 (коэффициент при x²),
• b = -3 (коэффициент при x),
• c = 1 (свободный член).

Шаг 2: Вычисление дискриминанта

Формула для вычисления дискриминанта D выглядит следующим образом:

D = b² - 4ac.

Подставим наши значения:

• b² = (-3)² = 9,
• 4ac = 4 * 3 * 1 = 12.

Теперь подставим эти значения в формулу:

D = 9 - 12 = -3.

Шаг 3: Анализ дискриминанта

Так как D < 0, это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Корни будут комплексными.

Шаг 4: Находим комплексные корни

Формула для нахождения корней квадратного уравнения, когда дискриминант отрицательный, выглядит следующим образом:

x = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения:

• -b = -(-3) = 3,
• √D = √(-3) = i√3 (где i - мнимая единица),
• 2a = 2 * 3 = 6.

Теперь подставим все это в формулу:

x = (3 ± i√3) / 6.

Таким образом, корни уравнения будут:

• x₁ = (3 + i√3) / 6,
• x₂ = (3 - i√3) / 6.

Шаг 5: Применение теоремы Виета

Согласно теореме Виета, сумма корней (S) равна -b/a, а произведение корней (P) равно c/a. Подсчитаем:

• S = -(-3)/3 = 3/3 = 1,
• P = 1/3.

Эти значения совпадают с корнями, которые мы нашли, так как:

• Сумма корней: (3 + i√3)/6 + (3 - i√3)/6 = 1,
• Произведение корней: ((3 + i√3)/6) * ((3 - i√3)/6) = (9 + 3)/36 = 12/36 = 1/3.

Заключение

Таким образом, мы нашли, что уравнение 3x² - 3x + 1 = 0 не имеет действительных корней, но имеет два комплексных корня:

• x₁ = (3 + i√3) / 6,
• x₂ = (3 - i√3) / 6.