Как решить уравнение: 3sin(2x) - 2cos^2(x) = 0?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические функции синус косинус математические задачи уравнения с синусом уравнения с косинусом Новый

Чтобы решить уравнение 3sin(2x) - 2cos^2(x) = 0, следуем следующим шагам:

1. Используем формулу для синуса двойного угла:

   Напомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

   3 * 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

   Это можно упростить до:

   6sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

2. Вынесем общий множитель:

   Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель 2cos(x). Вынесем его:

   2cos(x)(3sin(x) - cos(x)) = 0

3. Решаем полученное уравнение:

   Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

   • Первый случай: 2cos(x) = 0

   Это уравнение выполняется, когда cos(x) = 0. Значения x, при которых это выполняется, находятся в точках:

   x = (2k + 1) * π/2, где k - целое число.

   • Второй случай: 3sin(x) - cos(x) = 0

   Перепишем это уравнение:

   3sin(x) = cos(x)

   Теперь разделим обе стороны на cos(x) (при условии, что cos(x) ≠ 0):

   3tan(x) = 1

   Следовательно, tan(x) = 1/3.

   Решения этого уравнения можно найти с помощью арктангенса:

   x = arctan(1/3) + kπ, где k - целое число.

4. Объединяем решения:

   Таким образом, общее решение уравнения:

   • x = (2k + 1) * π/2, где k - целое число (из первого случая).
   • x = arctan(1/3) + kπ, где k - целое число (из второго случая).

На этом решение уравнения завершено!