Для решения уравнения 6cos²(4x) + 2sin(8x) = 5, давайте следовать пошагово.

Начнем с того, что упростим уравнение. Мы можем выразить sin(8x) через cos(4x) с использованием тригонометрической идентичности. Напомним, что sin(8x) = 2sin(4x)cos(4x). Однако, в данном случае, удобнее будет использовать другую идентичность:

• sin(8x) = 2sin(4x)cos(4x) = 2(2sin(2x)cos(2x))(cos(4x)).

Но, чтобы избежать усложнений, мы можем оставить sin(8x) как есть и просто подставить его в уравнение.

Теперь запишем уравнение в более удобной форме:

• 6cos²(4x) + 2sin(8x) = 5

Переносим 5 в левую часть:

• 6cos²(4x) + 2sin(8x) - 5 = 0

Теперь мы можем попробовать подставить значение для sin(8x). Воспользуемся тем, что sin(8x) = 2sin(4x)cos(4x):

• 6cos²(4x) + 2(2sin(4x)cos(4x)) - 5 = 0
• 6cos²(4x) + 4sin(4x)cos(4x) - 5 = 0

Давайте сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Обозначим:

• y = cos(4x)
• sin(4x) = √(1 - y²)

Теперь подставим это в уравнение:

• 6y² + 4√(1 - y²)y - 5 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Однако, у нас есть радикал, поэтому удобно будет сначала выразить y:

• 6y² + 4y√(1 - y²) - 5 = 0.

Это уравнение можно решить численно или графически, но для простоты, давайте попробуем подставить некоторые значения для y.

Решим уравнение 6y² - 5 = -4y√(1 - y²) и подберем значения для y, которые удовлетворяют этому уравнению. После нахождения y, мы можем найти cos(4x).

После нахождения значений y, мы можем найти 4x:

• 4x = arccos(y) + 2kπ или 4x = -arccos(y) + 2kπ, где k – целое число.

Затем делим на 4, чтобы получить x:

• x = (arccos(y) + 2kπ)/4 или x = (-arccos(y) + 2kπ)/4.

Подставляя различные целые значения k, мы получаем множество решений для x.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения. Если у вас есть конкретные значения для y, вы можете подставить их и найти конкретные значения x.