Как решить уравнение: cos(2x) - 7cos(x) + 4 = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 9 класс cos(2X) cos(x) тригонометрические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение cos(2x) - 7cos(x) + 4 = 0, начнем с преобразования выражения cos(2x) с использованием формулы двойного угла. Формула для косинуса двойного угла выглядит так:

cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Теперь подставим эту формулу в наше уравнение:

2cos²(x) - 1 - 7cos(x) + 4 = 0

Упростим уравнение:

• 2cos²(x) - 7cos(x) + 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим y = cos(x), тогда уравнение примет вид:

2y² - 7y + 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 2, b = -7, c = 3.
• D = (-7)² - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25.

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Найдем их по формуле:

y = (-b ± √D) / (2a)

• y₁ = (7 + √25) / (2 * 2) = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3.
• y₂ = (7 - √25) / (2 * 2) = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

Теперь у нас есть два значения для cos(x):

• cos(x) = 3 (это значение не подходит, так как косинус не может быть больше 1).
• cos(x) = 1/2.

Теперь найдем x, для которого cos(x) = 1/2. Это значение косинуса соответствует углам:

• x = π/3 + 2kπ, где k - любое целое число (периодичность косинуса).
• x = 5π/3 + 2kπ.

Таким образом, общее решение уравнения cos(2x) - 7cos(x) + 4 = 0 будет:

x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k - любое целое число.