Как решить уравнение: Cos7x + sin8x = Cos3x - Sin2x?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические функции cos и sin уравнения с тригонометрией Новый

Чтобы решить уравнение Cos(7x) + Sin(8x) = Cos(3x) - Sin(2x), давайте следовать нескольким шагам:

1. Переносим все члены в одну сторону уравнения. Это позволит нам упростить его. Переносим Cos(3x) и -Sin(2x) влево:
• Cos(7x) + Sin(8x) - Cos(3x) + Sin(2x) = 0
2. Группируем подобные функции. У нас есть косинусы и синусы. Попробуем упростить их:
• Cos(7x) - Cos(3x) + Sin(8x) + Sin(2x) = 0
3. Используем тригонометрические идентичности. В данном случае можно попробовать использовать формулы разности косинусов и суммы синусов:
• Cos(a) - Cos(b) = -2 * Sin((a+b)/2) * Sin((a-b)/2)
• Sin(a) + Sin(b) = 2 * Sin((a+b)/2) * Cos((a-b)/2)
4. Применяем эти формулы:
• Cos(7x) - Cos(3x) = -2 * Sin((7x + 3x)/2) * Sin((7x - 3x)/2) = -2 * Sin(5x) * Sin(2x)
• Sin(8x) + Sin(2x) = 2 * Sin((8x + 2x)/2) * Cos((8x - 2x)/2) = 2 * Sin(5x) * Cos(3x)
5. Теперь подставим эти результаты в уравнение:
• -2 * Sin(5x) * Sin(2x) + 2 * Sin(5x) * Cos(3x) = 0
6. Вынесем общий множитель:
• 2 * Sin(5x) * (Cos(3x) - Sin(2x)) = 0
7. Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что один из множителей равен нулю:
• 1. Sin(5x) = 0
• 2. Cos(3x) - Sin(2x) = 0
8. Решим первое уравнение:
• Sin(5x) = 0
• 5x = n * π, где n – целое число
• x = n * π / 5
9. Теперь решим второе уравнение:
• Cos(3x) = Sin(2x)
• Используем тождество: Cos(3x) = Sin(π/2 - 3x)
• Получаем: Sin(π/2 - 3x) = Sin(2x)
• Это дает два случая:
• π/2 - 3x = 2x + k * 2π, где k – целое число
• или π/2 - 3x = π - 2x + k * 2π
10. Решаем оба случая:
• 1. π/2 - 3x = 2x + k * 2π:
• π/2 = 5x + k * 2π
• x = (π/2 - k * 2π) / 5
• 2. π/2 - 3x = π - 2x + k * 2π:
• π/2 - π = x + k * 2π
• -π/2 = x + k * 2π
• x = -π/2 - k * 2π

Таким образом, у нас есть два типа решений:

• x = n * π / 5
• x = (π/2 - k * 2π) / 5 и x = -π/2 - k * 2π

Теперь вы можете подставить различные целые значения n и k, чтобы получить конкретные решения уравнения.