Как решить уравнение √cosx = sinx?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс √cosx = sinx уравнение с корнем тригонометрические функции методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение √cos(x) = sin(x), давайте сначала возведем обе стороны уравнения в квадрат. Это поможет нам избавиться от квадратного корня, но важно помнить, что при этом могут появиться лишние корни, которые нужно будет проверить в конце. Итак, возведем обе стороны в квадрат:

1. √cos(x) = sin(x)
2. cos(x) = sin²(x)

Теперь мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

sin²(x) + cos²(x) = 1

Из этого тождества выразим cos²(x):

cos²(x) = 1 - sin²(x)

Теперь подставим это выражение в уравнение cos(x) = sin²(x):

1. cos(x) = sin²(x)
2. cos(x) = 1 - cos²(x)

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только cos(x). Переносим все члены в одну сторону:

cos²(x) + cos(x) - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим cos(x) = y, тогда уравнение принимает вид:

y² + y - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 1, c = -1. Подставим значения:

y = (-1 ± √(1² - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1)

y = (-1 ± √(1 + 4)) / 2

y = (-1 ± √5) / 2

Теперь найдем два возможных значения для y:

• y₁ = (-1 + √5) / 2
• y₂ = (-1 - √5) / 2

Теперь нужно проверить, подходят ли эти значения для cos(x), так как cos(x) должен находиться в диапазоне от -1 до 1.

Первое значение:

y₁ = (-1 + √5) / 2 ≈ 0.618 (принимается, так как 0.618 находится в диапазоне от -1 до 1).

Второе значение:

y₂ = (-1 - √5) / 2 ≈ -1.618 (не принимается, так как -1.618 находится вне диапазона от -1 до 1).

Таким образом, мы имеем только одно допустимое значение:

cos(x) = (-1 + √5) / 2

Теперь найдем x. Для этого используем обратную функцию косинуса:

x = arccos((-1 + √5) / 2)

Однако, так как косинус является периодической функцией, у нас будет несколько решений:

x = arccos((-1 + √5) / 2) + 2πn и x = -arccos((-1 + √5) / 2) + 2πn, где n – целое число.

Не забудьте проверить найденные значения, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они его удовлетворяют.