Как решить уравнение (х^2-2х-5)^2-2(х^2-2х-3)-4=0?

Алгебра 9 класс Уравнения с переменной в степени решение уравнения алгебра 9 класс Квадратные уравнения метод решения уравнений математические задачи алгебраические выражения Новый

Для решения уравнения (х^2-2х-5)^2-2(х^2-2х-3)-4=0, давайте начнем с упрощения выражения. Мы видим, что у нас есть квадратное выражение, поэтому разумно сделать замену переменной.

Шаг 1: Замена переменной

Обозначим:

y = х^2 - 2х

Тогда уравнение можно переписать в виде:

(y - 5)^2 - 2(y - 3) - 4 = 0

Шаг 2: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки:

• (y - 5)^2 = y^2 - 10y + 25
• -2(y - 3) = -2y + 6

Подставим эти выражения в уравнение:

y^2 - 10y + 25 - 2y + 6 - 4 = 0

Шаг 3: Упрощение уравнения

Теперь объединим подобные члены:

y^2 - 12y + 27 = 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -12, c = 27.

Сначала найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 1 * 27 = 144 - 108 = 36

Теперь подставим значения в формулу:

• y1 = (12 + √36) / 2 = (12 + 6) / 2 = 18 / 2 = 9
• y2 = (12 - √36) / 2 = (12 - 6) / 2 = 6 / 2 = 3

Шаг 5: Обратная замена

Теперь вернемся к нашей замене y = х^2 - 2х:

• Для y1 = 9: х^2 - 2х - 9 = 0
• Для y2 = 3: х^2 - 2х - 3 = 0

Шаг 6: Решение новых квадратных уравнений

Решим первое уравнение:

• D1 = (-2)^2 - 4 * 1 * (-9) = 4 + 36 = 40
• х1 = (2 + √40) / 2 = (2 + 2√10) / 2 = 1 + √10
• х2 = (2 - √40) / 2 = (2 - 2√10) / 2 = 1 - √10

Теперь решим второе уравнение:

• D2 = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16
• х3 = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
• х4 = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Шаг 7: Итоговые решения

Таким образом, у нас есть четыре корня:

• х1 = 1 + √10
• х2 = 1 - √10
• х3 = 3
• х4 = -1

Это и есть все решения данного уравнения.