Чтобы решить уравнение Х⁴ + 8х² - 9 = 0, давайте начнем с того, что заметим, что это уравнение можно упростить с помощью подстановки.

Шаг 1: Подстановка

Обозначим y = x². Тогда x⁴ можно записать как (x²)² = y². Таким образом, наше уравнение преобразуется в:

y² + 8y - 9 = 0.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно y. Чтобы его решить, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 8, c = -9.

Подставим значения:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 8² - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100.
• Теперь находим корни y:

y = (-8 ± √100) / 2 * 1.

√100 = 10, поэтому:

• y₁ = (-8 + 10) / 2 = 2 / 2 = 1,
• y₂ = (-8 - 10) / 2 = -18 / 2 = -9.

Шаг 3: Обратная подстановка

Теперь мы получили два значения для y: y₁ = 1 и y₂ = -9.

Возвращаемся к переменной x:

• Если y₁ = 1, то x² = 1. Отсюда x = ±√1 = ±1.
• Если y₂ = -9, то x² = -9. Но так как квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений.

Шаг 4: Запись окончательных решений

Таким образом, у нас есть два действительных решения:

• x₁ = 1,
• x₂ = -1.

Ответ: x = 1 и x = -1.