Как решить уравнение: sin(2x) + 1 = cos(x) + 2sin(x)? За правильный ответ дам 40 баллов.

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс sin(2x) cos(x) 2sin(x) математические уравнения алгебраические задачи Тригонометрия школьная математика подготовка к экзаменам Новый

Чтобы решить уравнение sin(2x) + 1 = cos(x) + 2sin(x), давайте сначала упростим его, используя известные тригонометрические тождества.

1. Начнем с преобразования sin(2x). Мы знаем, что:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

2. Подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) + 1 = cos(x) + 2sin(x)

3. Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

2sin(x)cos(x) - 2sin(x) + 1 - cos(x) = 0

4. Упрощаем это уравнение:

2sin(x)(cos(x) - 1) + 1 - cos(x) = 0

5. Теперь выделим 1 - cos(x):

2sin(x)(cos(x) - 1) = cos(x) - 1

6. Заметим, что если cos(x) - 1 ≠ 0, то мы можем разделить обе стороны на cos(x) - 1. Однако, если cos(x) - 1 = 0, то это означает, что cos(x) = 1, что дает x = 2kπ, где k — целое число.

7. Разделим обе стороны на cos(x) - 1 (при условии, что cos(x) - 1 ≠ 0):

2sin(x) = 1

8. Теперь решим уравнение 2sin(x) = 1:

sin(x) = 1/2

9. Значения x, при которых sin(x) = 1/2, это:

• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ

где k — целое число.

10. Теперь соберем все решения:

• x = 2kπ (из условия cos(x) = 1)
• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ

Таким образом, все решения уравнения sin(2x) + 1 = cos(x) + 2sin(x):

• x = 2kπ
• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ

На этом решение уравнения завершено. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!