Как решить уравнение: sin^4x - cos^4x = 1/2?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения алгебра 9 класс решить уравнение sin^4x cos^4x тригонометрические уравнения математические решения уравнения с синусом уравнения с косинусом Новый

Чтобы решить уравнение sin^4x - cos^4x = 1/2, начнем с преобразования левой части уравнения. Мы можем воспользоваться формулой разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

В нашем случае a = sin^2x и b = cos^2x. Тогда:

sin^4x - cos^4x = (sin^2x - cos^2x)(sin^2x + cos^2x).

Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1 (это основное тригонометрическое тождество). Подставим это в уравнение:

(sin^2x - cos^2x)(1) = 1/2,

что упрощается до:

sin^2x - cos^2x = 1/2.

Теперь воспользуемся еще одним тождеством: sin^2x = 1 - cos^2x. Подставим это в уравнение:

(1 - cos^2x) - cos^2x = 1/2.

Упростим его:

1 - 2cos^2x = 1/2.

Теперь перенесем 1/2 на левую сторону:

1 - 1/2 = 2cos^2x,

что дает:

1/2 = 2cos^2x.

Теперь разделим обе стороны на 2:

cos^2x = 1/4.

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

cosx = ±1/2.

Теперь найдем значения x, для которых cosx = 1/2 и cosx = -1/2.

• Для cosx = 1/2:
  • x = π/3 + 2kπ, где k – целое число;
  • x = 5π/3 + 2kπ, где k – целое число.
• Для cosx = -1/2:
  • x = 2π/3 + 2kπ, где k – целое число;
  • x = 4π/3 + 2kπ, где k – целое число.

Таким образом, обобщенные решения уравнения:

x = π/3 + 2kπ, x = 5π/3 + 2kπ, x = 2π/3 + 2kπ, x = 4π/3 + 2kπ, где k – целое число.