Как решить уравнение sin(x) + 7cos(x) = 5 и найти его корни на отрезке [- π/4 ; π/4]?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения sin(x) cos(x) корни уравнения отрезок [-π/4; π/4] алгебра 9 класс Новый

Чтобы решить уравнение sin(x) + 7cos(x) = 5, начнем с того, что мы можем выразить одну из тригонометрических функций через другую. В данном случае, давайте выразим sin(x) через cos(x).

Используем основное тригонометрическое тождество:

• sin²(x) + cos²(x) = 1.

Отсюда следует, что:

• sin(x) = √(1 - cos²(x)) или sin(x) = -√(1 - cos²(x)),

в зависимости от знака. Однако, для упрощения решения, давайте попробуем другой подход.

Перепишем уравнение:

• sin(x) = 5 - 7cos(x).

Теперь подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:

• (5 - 7cos(x))² + cos²(x) = 1.

Раскроем скобки:

• 25 - 70cos(x) + 49cos²(x) + cos²(x) = 1.

Соберем все члены в одно уравнение:

• 50cos²(x) - 70cos(x) + 24 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x). Применим формулу для решения квадратных уравнений:

• cos(x) = [70 ± √(70² - 4 * 50 * 24)] / (2 * 50).

Посчитаем дискриминант:

• D = 70² - 4 * 50 * 24 = 4900 - 4800 = 100.

Теперь подставим дискриминант в формулу:

• cos(x) = [70 ± √100] / 100.

Это дает нам два значения:

• cos(x) = (70 + 10) / 100 = 0.8,
• cos(x) = (70 - 10) / 100 = 0.6.

Теперь найдем значения x для этих косинусов на заданном отрезке [-π/4; π/4].

1. Для cos(x) = 0.8:

• x = arccos(0.8) ≈ 0.6435 (в радианах).
• Так как арккосинус имеет значение в диапазоне [0, π], то на отрезке [-π/4, π/4] у нас есть только одно значение: x ≈ 0.6435.

2. Для cos(x) = 0.6:

• x = arccos(0.6) ≈ 0.9273 (в радианах).
• Это значение также не попадает в наш отрезок [-π/4, π/4].

Теперь проверим, есть ли другие возможные значения для sin(x):

• sin(x) = -√(1 - 0.8²) = -√(1 - 0.64) = -√0.36 = -0.6.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для sin(x) и cos(x), но только x ≈ 0.6435 соответствует нашему диапазону.

В итоге, корень уравнения sin(x) + 7cos(x) = 5 на отрезке [-π/4; π/4]:

• x ≈ 0.6435.