Как решить уравнение tg(x) - 2 ctg(x) + 1 = 0 и объяснить процесс решения, пожалуйста?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс tg x ctg x процесс решения уравнения математические уравнения тригонометрические функции Новый

Для решения уравнения tg(x) - 2 ctg(x) + 1 = 0 начнем с того, что вспомним, что ctg(x) является обратной функцией к tg(x). То есть, ctg(x) = 1/tg(x). Это позволит нам выразить ctg(x) через tg(x).

Обозначим tg(x) = t. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

t - 2(1/t) + 1 = 0

Теперь умножим все уравнение на t (при условии, что t ≠ 0, так как ctg(x) не может быть равен нулю):

t^2 - 2 + t = 0

Теперь упорядочим уравнение:

t^2 + t - 2 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 1, c = -2.
• Подставим значения: D = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9.

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня:

• t1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 3) / 2 = 1
• t2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 3) / 2 = -2

Теперь мы получили два значения для tg(x):

• tg(x) = 1
• tg(x) = -2

Теперь найдем x для каждого из значений:

1. Для tg(x) = 1:
• Это происходит при x = π/4 + kπ, где k - любое целое число.
2. Для tg(x) = -2:
• Для этого значения мы можем использовать arctg(-2). Поскольку тангенс отрицателен, мы ищем угол в третьем или четвёртом квадранте.
• Таким образом, x = arctg(-2) + kπ, где k - любое целое число.

В итоге, мы получили два семейства решений:

• x = π/4 + kπ
• x = arctg(-2) + kπ

Таким образом, мы нашли все решения данного уравнения. Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!