Как решить уравнение tg (x) - 2 ctg (x) + 1 = 0? Пожалуйста, объясните шаги решения этого уравнения.

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения алгебра 9 класс уравнение tg(x) ctg(x) решение уравнения шаги решения Тригонометрия математические уравнения учебник алгебры помощь по алгебре Новый

Давайте решим уравнение tg(x) - 2ctg(x) + 1 = 0. Начнем с преобразования его в более удобный вид.

Мы знаем, что ctg(x) можно выразить через tg(x) следующим образом: ctg(x) = 1/tg(x). Подставим это в уравнение:

• tg(x) - 2(1/tg(x)) + 1 = 0.

Умножим все уравнение на tg(x) (при условии, что tg(x) не равен 0, чтобы избежать деления на ноль):

• tg^2(x) - 2 + tg(x) = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно tg(x):

• tg^2(x) + tg(x) - 2 = 0.

Теперь найдем дискриминант D этого квадратного уравнения:

• D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их по формуле:

• tg(x) = (-b ± √D) / (2a).
• tg(x) = (-1 ± 3) / 2.

Теперь подставим значения:

• tg(x) = (2) / 2 = 1,
• tg(x) = (-4) / 2 = -2.

Теперь найдем углы, соответствующие этим значениям tg(x).

1. Для tg(x) = 1:

• Угол, для которого тангенс равен 1, это x = π/4.
• Учтем периодичность тангенса: x = π/4 + πn, где n - любое целое число.

2. Для tg(x) = -2:

• Чтобы найти угол, соответствующий тангенсу -2, используем арктангенс: x = -arctg(2).
• Учтем периодичность: x = -arctg(2) + πn, где n - любое целое число.

Таким образом, мы получили два семейства решений:

• x = π/4 + πn,
• x = -arctg(2) + πn.

Это и есть все решения данного уравнения.