Чтобы решить уравнение x^2(x-3)+2x(3-x)^2=0, давайте разберем его по шагам.

Начнем с того, что раскроем скобки в каждом из слагаемых уравнения.

• Первое слагаемое: x^2(x-3) = x^3 - 3x^2.
• Второе слагаемое: 2x(3-x)^2. Сначала раскроем (3-x)^2:
• (3-x)(3-x) = 9 - 6x + x^2.
• Теперь подставим это в уравнение: 2x(9 - 6x + x^2) = 18x - 12x^2 + 2x^3.
• Итак, второе слагаемое становится: 2x(3-x)^2 = 2x^3 - 12x^2 + 18x.
• Теперь уравнение выглядит так: x^3 - 3x^2 + 2x^3 - 12x^2 + 18x = 0.

Теперь объединим все слагаемые:

• x^3 + 2x^3 = 3x^3.
• -3x^2 - 12x^2 = -15x^2.
• 18x остается без изменений.

Таким образом, уравнение преобразуется в: 3x^3 - 15x^2 + 18x = 0.

Мы можем вынести общий множитель из всех слагаемых. В данном случае, это 3x:

3x(x^2 - 5x + 6) = 0.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это значит, что одно из множителей должно быть равно нулю:

• 3x = 0, что дает x = 0.
• Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 5x + 6 = 0.

Для решения квадратного уравнения x^2 - 5x + 6 = 0, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

Так как дискриминант больше нуля, у нас два различных корня:

• x1 = (5 + √1)/2 = (5 + 1)/2 = 3.
• x2 = (5 - √1)/2 = (5 - 1)/2 = 2.

Таким образом, у нас есть три корня:

• x = 0,
• x = 2,
• x = 3.

Ответ: корни уравнения x^2(x-3)+2x(3-x)^2=0: x = 0, x = 2, x = 3.