Как решить уравнение: x^5 - x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 12x - 12 = 0 для 9 класса?

Алгебра 9 класс Уравнения высших степеней решение уравнения алгебра 9 класс уравнение X^5 корни уравнения методы решения уравнений алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения x⁵ - x⁴ - 7x³ + 7x² + 12x - 12 = 0 мы будем использовать метод деления многочленов и теорему о корнях многочлена.

Шаг 1: Поиск возможных рациональных корней

Сначала мы можем использовать теорему о корнях, которая утверждает, что если у многочлена есть рациональный корень p/q, то p является делителем свободного члена, а q - делителем старшего коэффициента. В нашем случае свободный член равен -12, а старший коэффициент равен 1.

• Делители -12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
• Делители 1: ±1

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Шаг 2: Проверка возможных корней

Теперь мы будем подставлять эти значения в уравнение, чтобы найти хотя бы один корень.

• Проверим x = 1:

1⁵ - 1⁴ - 7*1³ + 7*1² + 12*1 - 12 = 1 - 1 - 7 + 7 + 12 - 12 = 0. Корень x = 1.

• Проверим x = -1:

(-1)⁵ - (-1)⁴ - 7*(-1)³ + 7*(-1)² + 12*(-1) - 12 = -1 - 1 + 7 + 7 - 12 - 12 = -12. Не является корнем.

• Проверим x = 2:

2⁵ - 2⁴ - 7*2³ + 7*2² + 12*2 - 12 = 32 - 16 - 56 + 28 + 24 - 12 = 0. Корень x = 2.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли корни x = 1 и x = 2, мы можем разделить многочлен на (x - 1) и (x - 2) с помощью деления многочленов.

Сначала разделим на (x - 1):

• Результат деления: x⁴ + 0x³ - 7x² + 7x + 12.

Теперь делим полученный многочлен на (x - 2):

• Результат деления: x³ + 2x² - 3x - 6.

Шаг 4: Поиск корней оставшегося многочлена

Теперь у нас есть многочлен третьей степени: x³ + 2x² - 3x - 6 = 0. Мы можем снова использовать теорему о корнях или метод подбора.

• Проверим x = -2:

(-2)³ + 2*(-2)² - 3*(-2) - 6 = -8 + 8 + 6 - 6 = 0. Корень x = -2.

Теперь делим на (x + 2):

• Результат деления: x² - 3.

Шаг 5: Решение оставшегося уравнения

Теперь решим уравнение x² - 3 = 0:

• x² = 3
• x = ±√3.

Итак, все корни уравнения:

• x = 1
• x = 2
• x = -2
• x = √3
• x = -√3

Таким образом, полное решение уравнения x⁵ - x⁴ - 7x³ + 7x² + 12x - 12 = 0: x = 1, 2, -2, √3, -√3.