Как решить уравнения: x^4 + 8x^2 - 9 = 0 и 9x^4 - 32x^2 - 16 = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения высших степеней решение уравнений алгебра 9 класс уравнения x^4 уравнения 9x^4 методы решения уравнений алгебраические уравнения математические задачи корни уравнений Квадратные уравнения система уравнений Новый

Давайте разберем оба уравнения по порядку.

Первое уравнение: x^4 + 8x^2 - 9 = 0

Это уравнение является квадратным относительно x^2. Мы можем сделать замену: пусть y = x^2. Тогда уравнение можно переписать как:

y^2 + 8y - 9 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = 8, c = -9. Подставим значения:

• b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100
• Теперь находим корни: y = (-8 ± √100) / 2 * 1
• y = (-8 ± 10) / 2

Теперь у нас есть два случая:

• y1 = (-8 + 10) / 2 = 2 / 2 = 1
• y2 = (-8 - 10) / 2 = -18 / 2 = -9

Так как y = x^2, мы рассматриваем только неотрицательные значения:

• y1 = 1, тогда x^2 = 1, значит x = ±1.
• y2 = -9, это значение не подходит, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, корни первого уравнения: x = 1 и x = -1.

Второе уравнение: 9x^4 - 32x^2 - 16 = 0

Аналогично, сделаем замену: пусть y = x^2. Уравнение примет вид:

9y^2 - 32y - 16 = 0

Теперь снова используем формулу корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 9, b = -32, c = -16. Подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 * 9 * (-16) = 1024 + 576 = 1600
• Теперь находим корни: y = (32 ± √1600) / (2 * 9)
• y = (32 ± 40) / 18

Теперь у нас есть два случая:

• y1 = (32 + 40) / 18 = 72 / 18 = 4
• y2 = (32 - 40) / 18 = -8 / 18 = -4/9

Снова, так как y = x^2, рассматриваем только неотрицательные значения:

• y1 = 4, тогда x^2 = 4, значит x = ±2.
• y2 = -4/9, это значение не подходит.

Таким образом, корни второго уравнения: x = 2 и x = -2.

Ответ:

• Для первого уравнения: x = 1 и x = -1.
• Для второго уравнения: x = 2 и x = -2.