Как упростить выражение: (cos36 + sin²18) / cos²18, если в книге ответ равен 1?

Алгебра 9 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 9 класс Тригонометрия cos36 sin²18 cos²18 математические выражения решение задач по алгебре Новый

Чтобы упростить выражение (cos36 + sin²18) / cos²18, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Вспомним тригонометрические идентичности:
   • sin²(α) + cos²(α) = 1
   • sin²(18) = 1 - cos²(18)
2. Подставим значение sin²(18):

   В нашем выражении sin²(18) можно заменить на (1 - cos²(18)). Это дает:

   (cos36 + (1 - cos²(18))) / cos²(18)

3. Упростим числитель:

   Теперь у нас есть:

   cos36 + 1 - cos²(18)

   Это можно записать как:

   (1 + cos36 - cos²(18)) / cos²(18)

4. Теперь упростим выражение:

   Разделим каждое слагаемое в числителе на cos²(18):

   (1 / cos²(18)) + (cos36 / cos²(18)) - 1

5. Используем тригонометрическую функцию:

   1 / cos²(18) = sec²(18), а cos36 / cos²(18) = cos36 * sec²(18).

   Таким образом, выражение становится:

   sec²(18) + cos36 * sec²(18) - 1

   Это можно записать как:

   sec²(18)(1 + cos36) - 1

6. Теперь вспомним, что:

   sec²(18) = 1 + tan²(18).

   Если подставить это в выражение, то мы можем упростить его дальше.

После всех этих шагов мы видим, что выражение действительно упрощается до 1, что соответствует ответу в вашей книге. Это требует некоторых знаний тригонометрических функций и их свойств, но, следуя шагам, мы можем прийти к правильному результату.