Чтобы вычислить производные данных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

• Производная константы 10 равна 0.
• Производная функции tg(x) равна sec^2(x).

Таким образом, производная функции y будет:

y' = 0 + sec^2(x) = sec^2(x).

• Производная x равна 1.
• Производная функции e^x равна e^x.

Следовательно, производная функции y будет:

y' = 1 + e^x.

• Для x^10 используем правило дифференцирования степенной функции: производная x^n равна n*x^(n-1). В данном случае n = 10, поэтому производная x^10 будет 10x^9.
• Для 5x^3 производная будет 5 * 3x^(3-1) = 15x^2.

Таким образом, производная функции y будет:

y' = 10x^9 + 15x^2.

Здесь мы применим правило произведения, которое гласит, что если f(x) = u(x) * v(x),то f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

• Пусть u(x) = x, тогда u'(x) = 1.
• Пусть v(x) = sin(x),тогда v'(x) = cos(x).

Теперь применим правило произведения:

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 * sin(x) + x * cos(x).

Таким образом, производная функции f будет:

f'(x) = sin(x) + x * cos(x).

Теперь у нас есть производные всех указанных функций:

• y' = sec^2(x)
• y' = 1 + e^x
• y' = 10x^9 + 15x^2
• f'(x) = sin(x) + x * cos(x)