Чтобы найти производную функции y = (x^2 + 1) * (x^3 + 3), мы воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций. Это правило гласит, что если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения будет равна:

(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

В нашем случае, функции u(x) и v(x) определяются следующим образом:

• u(x) = x^2 + 1
• v(x) = x^3 + 3

Теперь найдем производные u'(x) и v'(x):

1. u'(x) = (x^2 + 1)' = 2x. Здесь мы применили правило дифференцирования степенной функции, где производная x^n равна n*x^(n-1).
2. v'(x) = (x^3 + 3)' = 3x^2. Аналогично, применяем правило дифференцирования степенной функции.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

y' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

Подставляем значения:

• u'(x) * v(x) = 2x * (x^3 + 3) = 2x * x^3 + 2x * 3 = 2x^4 + 6x
• u(x) * v'(x) = (x^2 + 1) * 3x^2 = 3x^2 * x^2 + 3x^2 * 1 = 3x^4 + 3x^2

Теперь сложим эти два выражения:

y' = (2x^4 + 6x) + (3x^4 + 3x^2) = 2x^4 + 3x^4 + 3x^2 + 6x

Объединяем подобные члены:

y' = 5x^4 + 3x^2 + 6x

Таким образом, производная функции y = (x^2 + 1) * (x^3 + 3) равна 5x^4 + 3x^2 + 6x.