Для решения задачи о разделении доски размером 2×12 на доминошки размером 1×2 с условием, что вертикальные доминошки не могут располагаться рядом друг с другом, мы можем использовать метод динамического программирования.

Давайте обозначим количество способов разделить доску размером 2×n на доминошки как F(n). Нам нужно найти F(12).

Для начала, рассмотрим базовые случаи:

• F(1) = 1: Доска 2×1 может быть покрыта только одним горизонтальным доминошком.
• F(2) = 2: Доска 2×2 может быть покрыта двумя горизонтальными доминошками или двумя вертикальными доминошками, которые не стоят рядом.

Теперь давайте разберем, как можно покрыть доску размером 2×n:

• Если мы ставим горизонтальное доминошко в верхней части доски, то оставшаяся часть будет 2×(n-1). Это дает нам F(n-1) способов.
• Если мы ставим вертикальное доминошко в верхнем левом углу, то в правом верхнем углу мы не можем поставить вертикальное доминошко, так как они не могут стоять рядом. Поэтому в этом случае мы должны поставить горизонтальное доминошко в верхнем правом углу, что оставляет нам 2×(n-2) для покрытия. Это дает нам F(n-2) способов.

Таким образом, общее количество способов F(n) можно выразить следующим образом:

Теперь мы можем вычислить F(n) для n от 3 до 12, используя рекурсивную формулу:

1. F(3) = F(2) + F(1) = 2 + 1 = 3
2. F(4) = F(3) + F(2) = 3 + 2 = 5
3. F(5) = F(4) + F(3) = 5 + 3 = 8
4. F(6) = F(5) + F(4) = 8 + 5 = 13
5. F(7) = F(6) + F(5) = 13 + 8 = 21
6. F(8) = F(7) + F(6) = 21 + 13 = 34
7. F(9) = F(8) + F(7) = 34 + 21 = 55
8. F(10) = F(9) + F(8) = 55 + 34 = 89
9. F(11) = F(10) + F(9) = 89 + 55 = 144
10. F(12) = F(11) + F(10) = 144 + 89 = 233

Таким образом, количество способов разделить доску размером 2×12 на доминошки размером 1×2, при условии, что вертикальные доминошки не располагаются рядом друг с другом, равно 233.