Какое значение имеет выражение sin^4A + cos^4A, если известно, что разность sinA и cosA равна A?

Алгебра 9 класс Тригонометрические функции значение выражения sin^4a cos^4a разность sinA и cosA алгебра 9 класс Новый

Чтобы найти значение выражения sin^4A + cos^4A, когда известно, что разность sinA и cosA равна A, начнем с уравнения:

1. Запишем данное уравнение:

sinA - cosA = A

2. Воспользуемся формулой для суммы квадратов:

Мы знаем, что:

sin^4A + cos^4A = (sin^2A + cos^2A)^2 - 2sin^2A * cos^2A

Так как sin^2A + cos^2A = 1, то подставим это в уравнение:

sin^4A + cos^4A = 1 - 2sin^2A * cos^2A

3. Найдем значение sin^2A * cos^2A:

Для этого воспользуемся формулой:

sin^2A * cos^2A = (1/4) * sin^2(2A)

Теперь нам нужно найти sin(2A). Используя тригонометрические функции, мы можем выразить sin(2A) через sinA и cosA:

sin(2A) = 2sinA * cosA

4. Подставим значение sinA и cosA:

Из уравнения sinA - cosA = A, выразим sinA и cosA:

Пусть cosA = x, тогда sinA = x + A.

Подставим в уравнение:

(x + A)^2 + x^2 = 1

Раскроем скобки:

x^2 + 2Ax + A^2 + x^2 = 1

2x^2 + 2Ax + A^2 - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно x.

5. Найдем корни квадратного уравнения:

Используем дискриминант:

D = (2A)^2 - 4 * 2 * (A^2 - 1)

D = 4A^2 - 8A^2 + 8 = -4A^2 + 8

Корни будут действительными, если D ≥ 0, что значит:

-4A^2 + 8 ≥ 0

A^2 ≤ 2.

6. Подставим значение sin^2A * cos^2A:

Теперь, когда мы нашли sinA и cosA, можем подставить их в формулу для sin^2A * cos^2A:

sin^2A * cos^2A = (1/4) * sin^2(2A).

7. Подставим все в исходное выражение:

Теперь подставим значение sin^2A * cos^2A в выражение:

sin^4A + cos^4A = 1 - 2 * (1/4) * sin^2(2A) = 1 - (1/2) * sin^2(2A).

8. Упростим выражение:

Таким образом, мы можем заключить, что:

sin^4A + cos^4A = 1 - (1/2) * sin^2(2A).

Это значение будет зависеть от A, но мы знаем, что A ≤ √2, поэтому максимальное значение sin^4A + cos^4A можно найти, подставив максимальное значение A.

Таким образом, окончательный ответ зависит от конкретного значения A, но мы выразили его через A и sin^2(2A).