Похожие вопросы
2025-09-18 15:45:46
Какое значение имеет выражение (sin(8α) + 2 sin(4α)) / (1 - cos²(4α)), если tg(2α) = -0.5?
- -4
- 4
- 0.25
- -0.25
- -1
Алгебра 9 класс Тригонометрические функции алгебра 9 класс тригонометрические функции выражение значение tg(2α) sin cos решение уравнения математика школьная программа
2025-09-18 15:46:01
Давайте разберем данное выражение шаг за шагом и найдем его значение при условии, что tg(2α) = -0.5.
Исходное выражение:
(sin(8α) + 2 sin(4α)) / (1 - cos²(4α))
Сначала упростим знаменатель:
- Мы знаем, что 1 - cos²(4α) = sin²(4α) (по тригонометрической идентичности).
Теперь подставим это в наше выражение:
(sin(8α) + 2 sin(4α)) / sin²(4α)
Теперь давайте выясним, как выразить sin(8α) и sin(4α) через tg(2α).
Так как tg(2α) = -0.5, мы можем представить это как:
- tg(2α) = sin(2α) / cos(2α) = -0.5.
- Это означает, что sin(2α) = -0.5 * cos(2α).
Теперь воспользуемся формулами для удвоенного угла:
- sin(4α) = 2sin(2α)cos(2α).
- sin(8α) = 2sin(4α)cos(4α).
Подставим sin(2α) в формулу для sin(4α):
- sin(4α) = 2(-0.5 * cos(2α)) * cos(2α) = -cos²(2α).
Теперь найдем sin(8α):
- sin(8α) = 2sin(4α)cos(4α) = 2(-cos²(2α))cos(4α).
Теперь нам нужно выразить cos(4α). Но для этого сначала найдем cos(2α):
- cos²(2α) + sin²(2α) = 1.
- cos²(2α) + (-0.5 * cos(2α))² = 1.
- cos²(2α) + 0.25 * cos²(2α) = 1.
- 1.25 * cos²(2α) = 1.
- cos²(2α) = 1 / 1.25 = 0.8.
- cos(2α) = ±√0.8 = ±0.8944.
Теперь подставим значение cos(2α) в выражение для sin(4α):
- sin(4α) = -cos²(2α) = -0.8.
Теперь найдем sin(8α):
- cos(4α) = ±√(1 - sin²(4α)) = ±√(1 - (-0.8)²) = ±√(1 - 0.64) = ±√0.36 = ±0.6.
- sin(8α) = 2(-0.8)(±0.6) = -0.96 (выберем знак минус для соответствия tg(2α)).
Теперь у нас есть:
- sin(8α) = -0.96,
- sin(4α) = -0.8.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
(-0.96 + 2 * (-0.8)) / (-0.8)² = (-0.96 - 1.6) / 0.64 = -2.56 / 0.64.
Теперь вычислим результат:
-2.56 / 0.64 = -4.
Таким образом, значение выражения равно:
-4