Какое значение принимает выражение 1/x^2 + 1/x^2, если x1 и x2 - корни уравнения x^2 - 4x + √2 = 0?

Алгебра 9 класс Корни квадратного уравнения алгебра 9 класс значение выражения корни уравнения x^2 - 4x + √2 математические выражения алгебраические уравнения Новый

Чтобы найти значение выражения 1/x^2 + 1/x^2, сначала определим корни уравнения x^2 - 4x + √2 = 0. Для этого воспользуемся формулой решения квадратных уравнений:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем уравнении:

• a = 1
• b = -4
• c = √2

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

x = (4 ± √((-4)^2 - 4 * 1 * √2)) / (2 * 1)

Сначала вычислим дискриминант:

• b^2 = (-4)^2 = 16
• 4ac = 4 * 1 * √2 = 4√2
• Дискриминант = 16 - 4√2

Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:

x = (4 ± √(16 - 4√2)) / 2

Корни уравнения x1 и x2 будут равны:

• x1 = (4 + √(16 - 4√2)) / 2
• x2 = (4 - √(16 - 4√2)) / 2

Теперь, чтобы найти значение выражения 1/x^2 + 1/x^2, упростим его:

1/x^2 + 1/x^2 = 2/x^2

Следовательно, нам нужно найти значение 2/x^2 для корней x1 и x2. Для этого найдем x1^2 и x2^2:

Используя формулу для суммы корней и произведения корней квадратного уравнения:

• Сумма корней x1 + x2 = 4
• Произведение корней x1 * x2 = √2

Теперь найдем x1^2 + x2^2:

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2 * (x1 * x2)

x1^2 + x2^2 = 4^2 - 2 * √2 = 16 - 2√2

Теперь найдем x1^2 * x2^2:

x1^2 * x2^2 = (x1 * x2)^2 = (√2)^2 = 2

Таким образом, мы можем найти значение выражения 2/x^2:

Поскольку у нас есть два корня, мы можем записать:

• 2/x1^2 + 2/x2^2 = 2 * (1/x1^2 + 1/x2^2)

По формуле для нахождения суммы обратных квадратов:

1/x1^2 + 1/x2^2 = (x1^2 + x2^2) / (x1^2 * x2^2)

Следовательно:

• 1/x1^2 + 1/x2^2 = (16 - 2√2) / 2

Теперь подставим это значение:

2 * (16 - 2√2) / 2 = 16 - 2√2

Таким образом, значение выражения 1/x^2 + 1/x^2 для корней x1 и x2 уравнения x^2 - 4x + √2 = 0 равно 16 - 2√2.