Какова область определения функции f(x) = корень из (x^2 + 3x - 4) деленное на (x - 3)?

Алгебра 9 класс Область определения функции область определения функции алгебра 9 класс корень из выражения деление функций функции и их области решение уравнений алгебраические функции Новый

Чтобы найти область определения функции f(x) = √(x² + 3x - 4) / (x - 3), нам нужно учитывать два условия:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.
2. Знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено.

Теперь давайте разберем каждое из условий по порядку.

1. Условие для корня:

Чтобы корень из (x² + 3x - 4) был определен, необходимо, чтобы:

x² + 3x - 4 ≥ 0.

Сначала найдем корни квадратного уравнения x² + 3x - 4 = 0. Используем формулу для нахождения корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 3, c = -4.

Подставляем значения:

D = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.

Теперь находим корни:

x₁ = (-3 + √25) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1.

x₂ = (-3 - √25) / 2 = (-3 - 5) / 2 = -8 / 2 = -4.

Корни уравнения: x₁ = 1 и x₂ = -4.

Теперь нужно определить знаки выражения x² + 3x - 4 на интервалах, которые определяются корнями:

• Интервал (-∞, -4)
• Интервал (-4, 1)
• Интервал (1, +∞)

Мы можем выбрать тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -4), например, x = -5: (-5)² + 3*(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 (положительное).
• Для интервала (-4, 1), например, x = 0: 0² + 3*0 - 4 = -4 (отрицательное).
• Для интервала (1, +∞), например, x = 2: 2² + 3*2 - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 (положительное).

Таким образом, выражение x² + 3x - 4 ≥ 0 на интервалах:

• (-∞, -4] и [1, +∞).

2. Условие для знаменателя:

Теперь найдем, когда знаменатель (x - 3) равен нулю:

x - 3 = 0 <=> x = 3.

Значит, x не может равняться 3.

Итог:

Объединяя оба условия, область определения функции f(x) будет:

(-∞, -4] U (1, 3) U (3, +∞).

Таким образом, область определения функции f(x) = √(x² + 3x - 4) / (x - 3) равна:

(-∞, -4] U (1, 3) U (3, +∞).