Чтобы найти область определения функции y = √(6x - 2x²), нам нужно определить, при каких значениях x выражение под корнем неотрицательно, так как корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

6x - 2x² ≥ 0

Теперь давайте упростим это неравенство. Для этого мы можем вынести общий множитель:

2x(3 - x) ≥ 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей: 2x и (3 - x). Мы можем исследовать знак этого произведения. Для этого найдем нули каждого множителя:

• Первый множитель: 2x = 0, отсюда x = 0.
• Второй множитель: 3 - x = 0, отсюда x = 3.

Теперь у нас есть два ключевых значения: x = 0 и x = 3. Эти значения разделяют числовую ось на три интервала:

• (-∞, 0)
• (0, 3)
• (3, +∞)

Теперь проверим знак произведения 2x(3 - x) на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, 0): выберем, например, x = -1. Подставляем в выражение: 2(-1)(3 - (-1)) = 2(-1)(4) = -8. Знак отрицательный.
2. Для интервала (0, 3): выберем, например, x = 1. Подставляем: 2(1)(3 - 1) = 2(1)(2) = 4. Знак положительный.
3. Для интервала (3, +∞): выберем, например, x = 4. Подставляем: 2(4)(3 - 4) = 2(4)(-1) = -8. Знак отрицательный.

Теперь мы можем сделать вывод о знаках на каждом интервале:

• (-∞, 0) - отрицательный
• (0, 3) - положительный
• (3, +∞) - отрицательный

Таким образом, неравенство 2x(3 - x) ≥ 0 выполняется только на интервале [0, 3]. Мы включаем концы интервала, потому что при x = 0 и x = 3 значение под корнем равно нулю, что допустимо.

Итак, область определения функции y = √(6x - 2x²:

[0, 3]