Какова область определения функции y = √(x + 20 - x²)?

Алгебра 9 класс Область определения функции область определения функции алгебра 9 класс корень из выражения решение уравнений функции и их свойства Новый

Чтобы найти область определения функции y = √(x + 20 - x²), нам нужно определить, при каких значениях x выражение под корнем неотрицательно, так как корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.

Начнем с неравенства:

x + 20 - x² ≥ 0.

Перепишем его в стандартной форме:

-x² + x + 20 ≥ 0.

Умножим все части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится:

x² - x - 20 ≤ 0.

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

1. Коэффициенты: a = 1, b = -1, c = -20.
2. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
3. Сначала найдем дискриминант: D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-20) = 1 + 80 = 81.
4. Теперь находим корни:
   • x₁ = (1 + √81) / 2 = (1 + 9) / 2 = 10 / 2 = 5;
   • x₂ = (1 - √81) / 2 = (1 - 9) / 2 = -8 / 2 = -4.

Теперь у нас есть корни x₁ = 5 и x₂ = -4. Это значит, что мы можем разбить числовую ось на три интервала:

• (-∞, -4);
• (-4, 5);
• (5, +∞).

Теперь проверим знаки на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -4) (например, x = -5):
   • (-5)² - (-5) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 (положительно).
2. Для интервала (-4, 5) (например, x = 0):
   • 0² - 0 - 20 = -20 (отрицательно).
3. Для интервала (5, +∞) (например, x = 6):
   • 6² - 6 - 20 = 36 - 6 - 20 = 10 (положительно).

Теперь мы видим, что неравенство x² - x - 20 ≤ 0 выполняется на интервале от -4 до 5, включая сами точки, так как в этих точках выражение под корнем равно нулю, и корень из нуля определен.

Таким образом, область определения функции y = √(x + 20 - x²) составляет:

[-4, 5]