Какова вероятность того, что среди пяти случайно выбранных билетов с номерами от 1 до 90 есть хотя бы два последовательных числа?

Алгебра 9 класс Комбинаторика и вероятность вероятность случайные билеты последовательные числа алгебра 9 комбинаторика задачи на вероятность математика 9 класс Новый

Для решения задачи о вероятности того, что среди пяти случайно выбранных билетов с номерами от 1 до 90 есть хотя бы два последовательных числа, мы воспользуемся методом дополнения. Это значит, что сначала найдем вероятность того, что среди выбранных билетов нет последовательных номеров, а затем вычтем эту вероятность из 1.

Шаг 1: Определение общего количества способов выбрать 5 билетов

Сначала найдем общее количество способов выбрать 5 билетов из 90. Это можно сделать с помощью комбинаций, поскольку порядок выбора не важен. Общее количество способов можно записать как:

• C(90, 5) = 90! / (5! * (90 - 5)!)

Шаг 2: Определение количества способов выбрать 5 билетов без последовательных номеров

Чтобы выбрать 5 билетов без последовательных номеров, представим, что мы выбираем 5 номеров и между ними должны быть "пробелы". Если мы выберем 5 номеров, то между ними будет 4 промежутка, которые мы должны заполнить хотя бы одной единицей (чтобы избежать последовательных номеров).

Таким образом, если мы выбрали 5 билетов, то у нас уже занято 5 мест, и нам нужно оставить 85 мест (90 - 5 = 85). Мы можем представить это как задачу о распределении 4 "пробелов" между 5 выбранными билетами, что можно сделать следующим образом:

• Пусть x1, x2, x3, x4, x5 - это номера выбранных билетов. Тогда x1 < x2 < x3 < x4 < x5.
• Мы можем ввести новые переменные: y1 = x1, y2 = x2 - 1, y3 = x3 - 2, y4 = x4 - 3, y5 = x5 - 4.
• Теперь y1, y2, y3, y4, y5 - это 5 различных номеров, которые могут быть выбраны из 86 возможных номеров (1 до 86).

Таким образом, количество способов выбрать 5 билетов без последовательных номеров будет равно C(86, 5).

Шаг 3: Расчет вероятности

Теперь мы можем найти вероятность того, что среди выбранных билетов нет последовательных номеров:

• P(нет последовательных) = C(86, 5) / C(90, 5).

Следовательно, вероятность того, что среди выбранных билетов есть хотя бы два последовательных числа, будет равна:

• P(хотя бы 2 последовательных) = 1 - P(нет последовательных).

Шаг 4: Подсчет и подстановка значений

Теперь подставим значения в формулы и посчитаем:

• C(90, 5) = 43,949,268.
• C(86, 5) = 43,758,180.

Теперь подставим эти значения в формулу для вероятности:

• P(нет последовательных) = 43,758,180 / 43,949,268 ≈ 0.9956.
• P(хотя бы 2 последовательных) = 1 - 0.9956 ≈ 0.0044.

Таким образом, вероятность того, что среди пяти случайно выбранных билетов с номерами от 1 до 90 есть хотя бы два последовательных числа, составляет примерно 0.0044, или 0.44%.