Чтобы найти возможные значения косинуса и синуса, мы будем использовать основное тригонометрическое тождество:

sin²(альфа) + cos²(альфа) = 1

Теперь рассмотрим каждый из случаев по отдельности:

1. cos(альфа), если sin(альфа) = 2√3/5:
   • Сначала подставим значение sin(альфа) в тождество:
   • sin²(альфа) = (2√3/5)² = 4 * 3 / 25 = 12/25.
   • Теперь подставим в основное тождество:
   • 12/25 + cos²(альфа) = 1.
   • cos²(альфа) = 1 - 12/25 = 13/25.
   • Теперь найдем cos(альфа): cos(альфа) = ±√(13/25) = ±√13/5.
2. sin(альфа), если cos(альфа) = -1/√5:
   • Сначала подставим значение cos(альфа) в тождество:
   • cos²(альфа) = (-1/√5)² = 1/5.
   • Теперь подставим в основное тождество:
   • sin²(альфа) + 1/5 = 1.
   • sin²(альфа) = 1 - 1/5 = 4/5.
   • Теперь найдем sin(альфа): sin(альфа) = ±√(4/5) = ±2/√5.
3. sin(альфа), если cos(альфа) = 2/3:
   • Сначала подставим значение cos(альфа) в тождество:
   • cos²(альфа) = (2/3)² = 4/9.
   • Теперь подставим в основное тождество:
   • sin²(альфа) + 4/9 = 1.
   • sin²(альфа) = 1 - 4/9 = 5/9.
   • Теперь найдем sin(альфа): sin(альфа) = ±√(5/9) = ±√5/3.
4. cos(альфа), если sin(альфа) = -1/√3:
   • Сначала подставим значение sin(альфа) в тождество:
   • sin²(альфа) = (-1/√3)² = 1/3.
   • Теперь подставим в основное тождество:
   • 1/3 + cos²(альфа) = 1.
   • cos²(альфа) = 1 - 1/3 = 2/3.
   • Теперь найдем cos(альфа): cos(альфа) = ±√(2/3) = ±√2/√3.

Таким образом, мы нашли все возможные значения для заданных условий.