Каковы все значения a, при которых неравенство (a+4)x^2-2ax+2a-6 < 0 выполняется для любых действительных x?

Алгебра 9 класс Неравенства с параметрами неравенство алгебра значения a (a+4)x^2 2ax 2a-6 любые действительные x Новый

Для того чтобы неравенство (a+4)x² - 2ax + (2a - 6) < 0 выполнялось для любых действительных x, необходимо, чтобы соответствующий квадратный трёхчлен имел отрицательный дискриминант и его старший коэффициент был отрицательным.

Шаг 1: Определим старший коэффициент

Старший коэффициент квадратного трёхчлена равен (a + 4). Чтобы он был отрицательным, необходимо:

• a + 4 < 0

Решая это неравенство, получаем:

• a < -4

Шаг 2: Найдём дискриминант

Дискриминант D квадратного трёхчлена равен:

• D = b² - 4ac

Где a = (a + 4), b = -2a, c = (2a - 6). Подставим значения:

• D = (-2a)² - 4(a + 4)(2a - 6)
• D = 4a² - 4(a + 4)(2a - 6)

Шаг 3: Упростим выражение для дискриминанта

Раскроем скобки:

• D = 4a² - 4[(a)(2a) + (a)(-6) + (4)(2a) + (4)(-6)]
• D = 4a² - 4[2a² - 6a + 8a - 24]
• D = 4a² - 4[2a² + 2a - 24]
• D = 4a² - 8a² - 8(-24)
• D = 4a² - 8a² + 96
• D = -4a² + 96

Шаг 4: Условие для дискриминанта

Чтобы квадратный трёхчлен имел отрицательный дискриминант, необходимо:

• -4a² + 96 < 0

Решим это неравенство:

• -4a² < -96
• a² > 24

Теперь найдём корни:

• a > √24 или a < -√24

Приблизительно √24 ≈ 4.9, следовательно:

• a > 4.9 или a < -4.9

Шаг 5: Объединим условия

Теперь у нас есть два условия:

• a < -4
• a < -4.9 или a > 4.9

Из этих условий видно, что:

• Условие a < -4 является более строгим и накладывает ограничение на a < -4.9.

Вывод:

Таким образом, все значения a, при которых неравенство (a + 4)x² - 2ax + (2a - 6) < 0 выполняется для любых действительных x, это:

• a < -4