При каком наибольшем целом значении параметра a неравенство -3 < (x^2 + ax - 2) / (x^2 - x + 1) < 2 выполняется для всех действительных x?

Алгебра 9 класс Неравенства с параметрами неравенство алгебра параметр a целые значения x решение неравенства математический анализ функция действительные числа график функции Новый

Для решения неравенства -3 < (x^2 + ax - 2) / (x^2 - x + 1) < 2, начнем с анализа обеих частей неравенства по отдельности.

Рассмотрим сначала левую часть:

-3 < (x^2 + ax - 2) / (x^2 - x + 1>

Умножим обе части неравенства на (x^2 - x + 1), так как этот знаменатель всегда положителен для всех действительных x (это можно показать, так как дискриминант этого квадратного трёхчлена меньше нуля). Получаем:

-3(x^2 - x + 1) < x^2 + ax - 2.

Раскроем скобки:

-3x^2 + 3x - 3 < x^2 + ax - 2.

Переносим все члены в одну сторону:

-3x^2 - x^2 + 3x - ax - 3 + 2 < 0.

Это упрощается до:

-4x^2 + (3 - a)x - 1 < 0.

Теперь это квадратное неравенство. Чтобы оно выполнялось для всех x, его дискриминант должен быть меньше нуля:

D = (3 - a)^2 - 4 * (-4) * (-1) < 0.

Решим это неравенство:

1. Вычислим дискриминант:
2. D = (3 - a)^2 - 16 < 0.
3. Раскроем скобки:
4. (3 - a)^2 < 16.
5. Теперь найдем корни: |3 - a| < 4.

Это неравенство можно разбить на два случая:

• 3 - a < 4, что дает a > -1;
• 3 - a > -4, что дает a < 7.

Таким образом, мы получаем, что:

-1 < a < 7.

Теперь рассмотрим правую часть неравенства:

(x^2 + ax - 2) / (x^2 - x + 1) < 2

Также умножим обе части на (x^2 - x + 1):

x^2 + ax - 2 < 2(x^2 - x + 1).

Раскроем скобки:

x^2 + ax - 2 < 2x^2 - 2x + 2.

Переносим все члены в одну сторону:

0 < 2x^2 - x^2 - 2 + 2x + ax.

Упрощаем:

0 < x^2 + (a + 2)x + 2.

Это также квадратное неравенство, и чтобы оно выполнялось для всех x, его дискриминант должен быть меньше нуля:

D = (a + 2)^2 - 4 * 1 * 2 < 0.

Решим это неравенство:

1. (a + 2)^2 < 8.
2. Теперь найдем корни: |a + 2| < 2√2.

Это неравенство также разбивается на два случая:

• a + 2 < 2√2, что дает a < 2√2 - 2;
• a + 2 > -2√2, что дает a > -2 - 2√2.

Таким образом, мы имеем два условия:

-1 < a < 7 и -2 - 2√2 < a < 2√2 - 2.

Теперь найдем пересечение этих условий. Из условия -1 < a < 7 видно, что a должно быть больше -1. Также отметим, что 2√2 примерно равно 2.83, таким образом, 2√2 - 2 примерно равно 0.83, а -2 - 2√2 примерно равно -4.83.

Пересечение условий:

-1 < a < 0.83.

Наибольшее целое значение a, которое удовлетворяет этим условиям, это a = 0.

Ответ: Наибольшее целое значение параметра a равно 0.