Каковы значения:

1. Sina, если cos(a + π/3) = -3/5, при условии π/2 < a + π/3 < π?
2. Cosa, если sin(π/6 - a) = 2√2/3, при условии π/2 < π/6 - a < π?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения значения sinA cos(a + π/3) π/2 < a + π/3 < π значения Cosa sin(π/6 - a) π/2 < π/6 - a < π Новый

Давайте решим обе задачи по очереди.

1. Найдем значение sin(a), если cos(a + π/3) = -3/5 и π/2 < a + π/3 < π.

• Сначала определим угол (a + π/3). Условие π/2 < a + π/3 < π говорит нам, что этот угол находится во втором квадранте.
• Второй квадрант означает, что косинус угла отрицательный, что соответствует нашему значению cos(a + π/3) = -3/5.
• Используем основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1. Подставим значение косинуса:
• sin²(a + π/3) = 1 - cos²(a + π/3) = 1 - (-3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25.
• Теперь найдем sin(a + π/3): sin(a + π/3) = ±√(16/25) = ±4/5.
• Поскольку угол a + π/3 находится во втором квадранте, где синус положителен, то sin(a + π/3) = 4/5.
• Теперь воспользуемся формулой для синуса суммы углов: sin(a + π/3) = sin(a)cos(π/3) + cos(a)sin(π/3).
• Значения cos(π/3) = 1/2 и sin(π/3) = √3/2.
• Подставим их в уравнение: 4/5 = sin(a) * 1/2 + cos(a) * √3/2.
• У нас есть два неизвестных: sin(a) и cos(a). Используем еще одно тригонометрическое тождество: sin²a + cos²a = 1.
• Обозначим sin(a) = y, тогда cos(a) = √(1 - y²).
• Подставим это в уравнение: 4/5 = y * 1/2 + √(1 - y²) * √3/2.
• Умножим обе стороны на 10: 8 = 5y + 5√3√(1 - y²).
• Теперь решим это уравнение для y (sin(a)). Это может потребовать некоторых алгебраических манипуляций и применения квадратного корня.

2. Теперь найдем значение cos(a), если sin(π/6 - a) = 2√2/3 и π/2 < π/6 - a < π.

• Сначала определим угол (π/6 - a). Условие π/2 < π/6 - a < π говорит о том, что этот угол также находится во втором квадранте.
• Во втором квадранте синус положителен, что соответствует нашему значению sin(π/6 - a) = 2√2/3.
• Теперь используем основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1. Подставим значение синуса:
• cos²(π/6 - a) = 1 - sin²(π/6 - a) = 1 - (2√2/3)² = 1 - 8/9 = 1/9.
• Теперь найдем cos(π/6 - a): cos(π/6 - a) = ±√(1/9) = ±1/3.
• Поскольку угол π/6 - a находится во втором квадранте, где косинус отрицателен, то cos(π/6 - a) = -1/3.
• Используем формулу для косинуса разности углов: cos(π/6 - a) = cos(π/6)cos(a) + sin(π/6)sin(a).
• Значения cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2.
• Подставим их в уравнение: -1/3 = (√3/2)cos(a) + (1/2)sin(a).
• Аналогично, обозначим sin(a) = y, тогда cos(a) = √(1 - y²).
• Подставляем: -1/3 = (√3/2)√(1 - y²) + (1/2)y.
• Умножим обе стороны на 6: -2 = 3√(1 - y²) + 3y.
• Решим это уравнение для y (sin(a)).

В результате мы получим значения sin(a) и cos(a) для обоих случаев. Если возникнут трудности с решением уравнений, не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы!